ผมไมได้่ทำโจทย์แบบนี้มา 6 ปีกว่าแล้ว ไม่รู้ว่าคิดมากไปรึเปล่านะครับ
คือผมไม่แน่ใจนะครับว่า $\mathbb{N}$ ในที่นี้รวม 0 ด้วยรึเปล่า (ในประวัติศาสตร์นั้น บางครั้งเราใช้ $\mathbb{N}$ แทน$\{1,2,3,...\}$ แต่ในบางครั้ง(ยุคหลังๆ) ก็ใช้แทน $\{0,1,2,3...\}$)
ถ้ารวม 0 ด้วย ก็จะง่ายกว่า ไม่รวม 0 เยอะทีเดียว(กรณีรวม 0 Hint ว่า สามารถแสดงได้โดยง่ายว่า $f$ เป็นฟังก์ชั่น 1-1 ทั่วถึงบน $ \mathbb{N}$ และ $f(0)=0$ )
ข้างล่า่งนี้ จะคิดในกรณีที่ ไม่รวม 0 ละกันนะครับ (นั่นคือ กำหนดว่า $ \mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$ )
สมมติ $f(1)=c>0$
จะได้ว่า $f(1+c)=f(1+f(1))=f(1)+1=c+1$
จากนั้นใช้เงื่อนไขจากโจทย์ และ หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ว่า ทุก $k\in \mathbb{N} $
$f(k(c+1))=k(c+1)$ -----------------(*)
ในอีกด้านนึง จาก $f(x+f(y))=f(x)+y$
จะได้ว่า ทุก $k\in \mathbb{N}$
$f(kc+k)=f((k-1)c+k+c)=f((k-1)c+k+f(1))=f((k-1)c+k)+1=...=f(k)+k$ ------(**)
จาก(*)และ(**) จะได้ว่า $f(k)=kc$ (ทุก $k\in \mathbb{N}$) -------------(***)
จาก $f(x+f(y))=f(x)+y$
ได้ว่า $cx+c^2y=cx+y$ (ทุก $x,y\in \mathbb{N}$)
จึงได้ว่า $c^2=1$
และเนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชั่นบน $ \mathbb{N}$ ดังนั้น $c=1$
จาก (***) ได้ว่า $f(x)=x$
|