อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow
2. จงตรวจสอบว่า $ถ้า \ x_1+x_2+x_3+...+x_{2552}=1$ แล้ว
$(1+\frac{1}{x_1})(1+\frac{1}{x_2})(1+\frac{1}{x_3})...(1+\frac{1}{x_{2552}})\geqslant 2553^{2552}$
เป็นจริงหรือไม่ ถ้าเป็นจริงจงพิสูจน์
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$ x_1+x_2+x_3+...+x_{2552}=1$
$ (x_1+1) + (x_2+1) + (x_3+1) +...+(x_{2552}+1) =1 + 2552 = 2553$ .....(*)
$ \because \ \ \frac{(x_1+1)}{x_1} +\frac{(x_2+1)}{x_2} +\frac{(x_3+1)}{x_3} + ...+ \frac{(x_2552+1)}{x_2552} < (x_1+1) + (x_2+1) + (x_3+1) +...+(x_{2552}+1) = 2553$
$ ( \frac{(x_1+1)}{x_1} +\frac{(x_2+1)}{x_2} +\frac{(x_3+1)}{x_3} + ...+ \frac{(x_2552+1)}{x_2552})^{2552} < 2553^{2552}$
จะได้ $ \ \ 2553^{2552} > ( \frac{(x_1+1)}{x_1} +\frac{(x_2+1)}{x_2} +\frac{(x_3+1)}{x_3} + ...+ \frac{(x_2552+1)}{x_2552})^{2552} $ ....(**)
$ AM-GM \ \ \frac{\frac{(x_1+1)}{x_1} +\frac{(x_2+1)}{x_2} +\frac{(x_3+1)}{x_3} + ...+ \frac{(x_2552+1)}{x_2552} }{2552} \geqslant \sqrt[2552]{\frac{(x_1+1)}{x_1} \frac{(x_2+1)}{x_2} \frac{(x_3+1)}{x_3} ... \frac{(x_2552+1)}{x_2552}} $
$ \left( \frac{\frac{(x_1+1)}{x_1} +\frac{(x_2+1)}{x_2} +\frac{(x_3+1)}{x_3} + ...+ \frac{(x_2552+1)}{x_2552} }{2552}\right)^{2552} \geqslant \left(\sqrt[2552]{\frac{(x_1+1)}{x_1} \frac{(x_2+1)}{x_2} \frac{(x_3+1)}{x_3} ... \frac{(x_2552+1)}{x_2552}}\right)^{2552} $
$ \left( \frac{\frac{(x_1+1)}{x_1} +\frac{(x_2+1)}{x_2} +\frac{(x_3+1)}{x_3} + ...+ \frac{(x_2552+1)}{x_2552} }{2552}\right)^{2552} \geqslant {\frac{(x_1+1)}{x_1} \frac{(x_2+1)}{x_2} \frac{(x_3+1)}{x_3} ... \frac{(x_2552+1)}{x_2552}} $
$ \left( \frac{\frac{(x_1+1)}{x_1} +\frac{(x_2+1)}{x_2} +\frac{(x_3+1)}{x_3} + ...+ \frac{(x_2552+1)}{x_2552} }{2552}\right)^{2552} \geqslant (1+\frac{1}{x_1})(1+\frac{1}{x_2})(1+\frac{1}{x_3})...(1+\frac{1}{x_{2552}}) $ ....(***)
จาก (**) (***) $ \ \ 2553^{2552} > \left( \frac{(x_1+1)}{x_1} +\frac{(x_2+1)}{x_2} +\frac{(x_3+1)}{x_3} + ...+ \frac{(x_2552+1)}{x_2552}\right)^{2552} > \left( \frac{\frac{(x_1+1)}{x_1} +\frac{(x_2+1)}{x_2} +\frac{(x_3+1)}{x_3} + ...+ \frac{(x_2552+1)}{x_2552} }{2552}\right)^{2552} \geqslant (1+\frac{1}{x_1})(1+\frac{1}{x_2})(1+\frac{1}{x_3})...(1+\frac{1}{x_{2552}}) $
ดังนั้น $(1+\frac{1}{x_1})(1+\frac{1}{x_2})(1+\frac{1}{x_3})...(1+\frac{1}{x_{2552}})\geqslant 2553^{2552}$ จึงไม่เป็นจริง