อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ Char Aznable:
ให้ x , y , z เป็นจำนวนจริงบวกที่มีผลบวกเป็น 3
จงพิสูจน์ว่า \[ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \geq xy + yz + zx \]
|
แทน $x=a^2,y=b^2,z=c^2$ ดังนั้นคำถามใหม่คือ
ให้ $a , b , c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่ $a^2+b^2+c^2=3$
จงพิสูจน์ว่า $a+b+c \geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$
เปลี่ยนรูปใหม่
\[\begin{array}{rcl}a+b+c &\geq& a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \\
&=&\frac{(a^2+b^2+c^2)^2-(a^4+b^4+c^4)}{2} \\
&=& \frac{9-(a^4+b^4+c^4)}{2} \\
2(a+b+c)+(a^4+b^4+c^4) &\geq& 9 \\
\end{array}
\]
โดยอสมการ AM-GM จะได้ว่า
\[a^4+2a=a^4+a+a \geq 3\sqrt[3]{a^6}=3a^2\]
ดังนั้น
\[2(a+b+c)+(a^4+b^4+c^4) \geq 3(a^2+b^2+c^2) = 9\]
พิมพ์ง่ายขึ้นเยอะเลยครับ ขอบคุณมากครับ
