ผมว่าข้อ 2 น่าจะจริงนะครับ
เรา Homogenize จาก $x_1+x_2+...+x_{2552}=1$ จะได้ อสมการ
$\Pi_{cyc}(1+\frac{x_1+x_2+...+x_{2552}}{x_1}) \geq 2553^{2552}$
ในเเต่ละวงเล็บจากอสมการ AM-GM ใช้เเบบ $n+1$ พจน์ จะมี $x_1$ ปรากฏอยู่ $n$ ครั้งในฝั่งขวา
$1+\frac{x_1+x_2+...+x_n}{x_1}=1+\frac{x_1}{x_1}+\frac{x_2}{x_1}+...+\frac{x_n}{x_1} \geq (n+1)(\frac{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}{x_1^{n}})^{\frac{1}{n+1}}$
$1+\frac{x_1+x_2+...+x_n}{x_2}=1+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_2}+...+\frac{x_n}{x_2} \geq (n+1)(\frac{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}{x_2^{n}})^{\frac{1}{n+1}}$
ในทำนองเดียวกันถึงสมการที่ $n$
$1+\frac{x_1+x_2+...+x_n}{x_n}=1+\frac{x_1}{x_n}+\frac{x_2}{x_n}+...+\frac{x_n}{x_n} \geq (n+1)(\frac{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}{x_n^{n}})^{\frac{1}{n+1}}$
เเล้วจับสมการทั้ง $n$ สมการมาคูณด้วยกัน จะได้ $RHS \geq (n+1)^n(\frac{(x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n)^n}{x_1^n \cdot x_2^n \cdot ... \cdot x_n^n})^{\frac{1}{n+1}}=(n+1)^n$ สุดท้ายก็เเทนค่า $n=2552$ ก็ได้จะว่า $RHS \geq 2553^{2552}$ ตามต้องการครับ ถ้าผมทำผิดยังไงก็ขออภัยด้วยครับ
ทิ้งโจทย์ไว้ให้คิดครับ ตัวเเปรทุกข้อเป็นจำนวนจริงบวกนะครับ
1) $abc \geq 3\sqrt{3}$ เมื่อ $abc \geq a+b+c$
2) $\sum_{cyc}x^2 \geq \sum_{cyc}xy$
3) $\sum_{cyc}\frac{a^3}{bc} \geq \sum_{cyc} a$
4) $\sum_{cyc}a^3 \geq \sum_{cyc}a^2b$
5) $\sum_{cyc}a^3 \geq \sum_{cyc}ab^2$
6) $\Pi_{cyc}(a-1+\frac{1}{b}) \leq 1$ เมื่อ $abc=1$
7) $\sum_{cyc} \frac{a^2}{\sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}} \geq \frac{4}{3}$ เมื่อ $abc=8$
8) $\sum_{cyc}\sqrt{x+yz} \geq \sqrt{xyz}+\sum_{cyc}\sqrt{x}$ เมื่อ $\sum_{cyc}\frac{1}{x}=1$
9) $\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{1+a_i} \leq \frac{\sum_{i = 1}^{n}a_i+n}{4}$ เมื่อ $a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n=1$
10) $\sum_{cyc}\sqrt{x} \geq \sum_{cyc}xy$ เมื่อ $x+y+z=3$
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!"
|