เยี่ยมครับคุณ SOS_math ผมมีอีกสองวิธีครับ
Fisrt Solution :
$\displaystyle{ (a^4-a^3)+(b^4-b^3)+(c^4-c^3) = (a-1)(a^3-1)+(b-1)(b^3-1)+(c-1)(c^3-1)+(a+b+c-3) }$
$=(a-1)^2(a^2+a+1)+(b-1)^2(b^2+b+1)+(c-1)^2(c^2+c+1)+(a+b+c-3)\geq 0$
เนื่องจาก $a+b+c\geq 3$ โดย AM-GM
Second Solution : โดย Power Mean inequality เราได้ว่า
$$\displaystyle{ \Bigg( \frac{a^4+b^4+c^4}{3} \Bigg) ^ {\frac{1}{4}} \geq \Bigg( \frac{a^3+b^3+c^3}{3} \Bigg) ^ {\frac{1}{3}} }$$
ดังนั้น
$$\displaystyle{ \frac{a^4+b^4+c^4}{3} \geq \Bigg( \frac{a^3+b^3+c^3}{3} \Bigg) ^ {\frac{4}{3}} \geq \frac{a^3+b^3+c^3}{3} }$$
เนื่องจาก $\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\geq 1$ โดย AM-GM และ $x\geq 1 , p\geq 1 \Rightarrow x^p\geq x$
