31.
Alternative Solution:
ใช้อสมการโคชีจะได้
$$ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2 \Rightarrow 3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2$$
ใช้อสมการโคชีอีกครั้งจะได้ว่า
$\begin{array}{rcl} a+b+c & = & \displaystyle{ \sqrt{\frac{a}{b+c}}\cdot \sqrt{a(b+c)}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}\cdot \sqrt{b(c+a)}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\cdot \sqrt{c(a+b)} } \\ & \leq & \displaystyle{ \sqrt{\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}} \sqrt{2(ab+bc+ca)}} \\
& \leq & \displaystyle{ \sqrt{\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}} \sqrt{\frac{2}{3}(a+b+c)^2} } \\
& = & \displaystyle{ \sqrt{\frac{2}{3}\Big(\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\Big)} \Big(a+b+c \Big) } \end{array}$
จัดรูปจะได้อสมการตามต้องการ
32. ไม่น่าจะใช้ Chebychev's inequality ได้ครับ เพราะจะมีปัญหาตอนเรียงค่า
34.
Alternative Solution:
ใช้อสมการโคชีสองครั้ง
$\begin{array}{rcl} abc(a+b+c) & = & ab\cdot ca + bc\cdot ab + ca\cdot bc \\ & \leq & a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \\
& \leq & a^4+b^4+c^4 \end{array}$