ข้อ 3 นะครับ.
\((x-2548)P(x+3) = (x-2005)P(x)\)
ขั้นที่ 1 : หาว่า P(x) เป็นพหุนามกำลังเท่าใด
ให้ \(P(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n\)
ดังนั้น \((x-2548)[a_0 + a_1(x+3) + \cdots + a_{n-1}(x+3)^{n-1} + a_n(x+3)^n ]\)
\(= (x-2005)[ a_0 + a_1x + \cdots + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n ]\)
เทียบ ส.ป.ส ของ \(x^n : a_{n-1} + a_n {n \choose 1}3 - 2548a_n = a_{n-1} - 2005 a_n \Rightarrow 3n - 2548 = -2005 \Rightarrow n = 181\)
ขั้นที่ 2 : จำกัดค่ารากที่เป็นไปได้
แทน x = 2548 : P(2548) = 0
แทน x = 2005 : P(2008) = 0
ให้ r เป็นรากของพหุนามแสดงว่า P(r) = 0
จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ว่า : \((r-2548)P(r+3) = (r-2005)P(r) \Rightarrow (r-2548)P(r+3) = 0\)
ถ้า \(r \ne 2548\) แล้ว P(r+3) = 0 ซึ่งแปลความหมายได้ว่า ถ้า P(r) เป็นรากของพหุนาม แล้ว P(r+3) จะเป็นรากด้วย เช่น P(2548 + 3) = 0 เป็นต้น.
จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ว่า : \((r-2551)P(r) = (r-2008)P(r-3) \Rightarrow (r-2008)P(r-3) = 0\)
ถ้า \(r \ne 2008\) แล้ว P(r-3) = 0 ซึ่งแปลความหมายได้ว่า ถ้า P(r) เป็นรากของพหุนาม แล้ว P(r-3) จะเป็นรากด้วย เช่น P(2548 - 3) = 0 เป็นต้น.
ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะจะมีรากเป็นจำนวนอนันต์ อย่างไรก็ดีเมื่อพิจารณาเงื่อนไขที่ว่า
(1) n = 181
(2) P(2548) = 0
(3) P(2008) = 0
เราจะพบว่าจะไม่สามารถเลือกค่ารากออกไปจาก 2548 ทางด้านมากจนสุดด้านเดียว คือ P(2548 + 3) , P(2548 + 3 + 3) + ... เพราะจะทำให้ P(2005) ไม่รวมอยู่ในนั้น
ทำนองเดียวกัน จะไม่เลือกค่ารากออกไปจาก 2008 ทางด้านน้อยจนสุดด้านเดียว คือ P(2008 - 3) , P(2008 - 3 - 3) + ... เพราะจะทำให้ P(2548) ไม่รวมอยู่ในนั้น
เมื่อพิจารณาค่ารากตั้งแต่ P(2008) , P(2008 + 3) , ... P(2545 + 3) = P(2548) จะพบว่ามีจำนวนเท่ากับ 181 พอดี นั่นคือ
\(P(x) = C(x-2008)(x-2011)(x-2014)\cdots(x-2545)(x-2548) \)เท่านั้นที่เป็นไปได้ซึ่งเมื่อแทนค่าจะพบว่าเป็นจริง
