[chikage - a thousand shadows]

ทำอย่างนี้ได้มั้ย...
ให้ a = p1^a1p2^a2...pk^ak และ b = p1^b1p2^b2...pk^bk
เมื่อ p1, p2, p3, ... pk เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ปรากฎใน a หรือ b
สำหรับ 1ฃiฃk ใดๆ จะได้ว่า aiฃ2biฃ3aiฃ4bi... (จาก a | b², b² | a³ ...)
ถ้า ai = 0 จะได้ bi = 0 นั่นคือ ai=bi
ถ้า ai น 0 จะได้ว่า ai > 0 เราได้อสมการต่อไปนี้เป็นจริงทุกๆ n ฮ Z⁺
(2n-1)/2n ฃ bi/ai ฃ (2n+1)/2n...(*)
สมมติว่า bi/ai > 1 จะได้ว่ามี k ฮ Z⁺ ซึ่ง bi/ai = 1 + 1/k
แต่โดย archimedean property เราได้ว่ามี n₀ ฮ Z⁺ ซึ่ง n₀ > k/2 ดังนั้นจะได้ว่า 1 + 1/k > 1 + 1/2n₀ ขัดแย้งกับ * ซึ่งเป็นจริงทุกจำนวนนับ ในทำนองเดียวกันสามารถแสดงได้ว่า bi/ai < 1 ไม่ได้เช่นกัน
ดังนั้น bi/ai = 1 นั่นคือ bi = ai

เราจึงได้ว่า ai = bi ทุกๆ 1ฃiฃk นั่นคือ a = b