ตามความเข้าใจของผมนะครับ
1) เรามีอิสระที่จะเเทนค่าตัวเเปรอะไรยังไงก็ได้ครับ เมื่อการเปลี่ยนตัวเเปรกลับไปกลับมาเเล้วยังคงให้หน้าตาตัวเเปรเหมือนเดิม เช่น ใน FE เจอ $y$ เปลี่ยนตัวเเปรเป็น $y=1-x$ พอเราเปลี่ยนตัวเเปรกลับมาเป็น $x=1-y$ ก็ยังหน้าตาเหมือนเดิมจริงไหมครับ เเต่ในกรณีเช่น $f$ เป็นฟังก์ชั่นจากจำนวนจริงไปยังจำนวนจริง เเทน $y=\sqrt{x}$ เราได้ว่าทั้ง $x,y$ ต่างเป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบจริงไหมครับ เเต่พอลองเปลี่ยนกลับไปจับมันยกกำลังสองดู ได้ $x=y^2$ ทีนี้เราจะได้ว่า $x \geq 0$ เเต่กลับได้ $y$ เป็นจำนวนจริงซึ่งเป็นลบได้ เเต่ตอนเเรกที่เราเปลี่ยนนั้น ($y=\sqrt{x}$) $y$ ไม่มีสิทธิติดลบเลยจริงไหมครับ เพราะฉะนั้นการเปลี่ยนตัวเเปรเเบบ $y=x^2$ หรือ $y=\sqrt{x}$ จึงทำไม่ได้ ตามความเข้าใจของผมนะครับ การเปลี่ยนตัวเเปรจะทำได้นั้นก็ต่อเมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชั่น Bijective ซึ่งมีสมบัติว่าอินเวอร์สของ $f$ ก็เป็นฟังก์ชั่น Bijective ด้วยครับ ดังนั้นก็ 1-1
2) ผมว่าขึ้นอยู่กับว่า $f$ เป็นฟังก์ชั่นจากเซตอะไรไปอะไรด้วยครับเช่นถ้าเป็นฟังก์ชั่นจากจำนวนตรรกยะไปตรรกยะก็ไม่ต้องเเสดงก็ได้ครับ ทำไปตามปกติ จะต้องเเสดงก็ต่อเมื่อโจทย์กำหนดให้โดเมนเป็นจำนวนจริงการจะสรุปว่า $f(x)=xf(1)$ นั้น ตามความเข้าใจของผมต้องมีอย่างน้อย 1 จาก 4 เงื่อนไข คือ ความเป็นฟังก์ชั่นทางเดียว, มีขอบเขต, ต่อเนื่องอย่างน้อยหนึ่งจุด, เป็นบวกเหนือเส้นจำนวนจริง $x \geq 0$ อย่างเล่มเทาสอวน.หน้า 194 มีสมบัติ $f(x^2)={f(x)}^2$ ได้ว่า $f(x)=cx$ เมื่อ $c=1$ (อ้างจาก IMO compendium) ซึ่งต้องเเสดงให้ดูว่า $f$ มีสมบัติดังกล่าวจึงจะสรุปได้
3) ถ้า $f$ เป็น Injective ยังไงก็ต้องมีสมบัติ Monotone increasing หรือ decreasing อย่างใดอย่างหนึ่งอยู่เเล้วไม่ใช่เหรอครับ ถ้าจะเเสดงว่าถ้า $f$ injective เเล้ว monotone นี้ น่าจะใช้ได้เเค่กับ Strictly monotone เพราะอีกสองประเภทที่เหลือที่ Monotone เเต่ไม่ Strictly จะไม่เป็นฟังก์ชั่น Injective
4) ถ้่า $f$ เป็นฟังก์ชั่้นจาก $A$ ไป $B$ เเล้ว ทุกค่าของ $y$ ใน $B$ จะต้องมี $x$ ที่ทำให้ $y=f(x)$ เสมอ
เช่น $y=f(x)$ เเล้วจากโจทย์ได้ว่า $f(y)=f(f(x))=x$ มีผลให้ $x=f(y)$ ด้วย จากความจริงที่ว่าถ้า $f$ เป็นฟังก์ชั่น Bijective จาก $A$ ไป $B$ เเล้ว $f$ จะมีฟังก์ชั่นผกผันเพียงฟังก์ชั่นเดียวเท่านั้นจาก $B$ ไป $A$ ซึ่งเป็นฟังก์ชั่น Bijective ด้วย เเต่้กรณีนี้เราพิสูจน์ได้เเล้วว่า $y=f(x)$ เเละ $x=f(y)$ ดังนั้น $f$ มีฟังก์ชั่นผกผันดังนั้น $f$ จึงเป็นฟังก์ชั่น Bijective ซึ่งให้ว่า $f$ Onto ตามต้องการ
5.1) เขียนใหม่ได้เป็น $xf(y)-xf(xy)=yf(x)-yf(xy)$ เเทน $x=1;$ $f(y)-f(y)=0=yf(1)-yf(y)$ ดังนั้น $yf(y)=yf(1)$ เมื่อ $y\not=1$ จะได้ว่า $f(x)=f(1)$ เป็นคำตอบ
5.2) จาก Hint ของคุณ Nooonuii ให้ $g(x)=f(x)-f(0)$ จะได้ว่า $g(\frac{x+y}{2})=f(\frac{x+y}{2})-f(0)=\frac{f(x)+f(y)}{2}-f(0)$ จากโจทย์ให้ $x=0$ จะได้ $f(\frac{x}{2})=\frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(0)$ ในทำนองเดียวกัน $f(\frac{y}{2})=\frac{1}{2}f(y)+\frac{1}{2}f(0)$ จับสมการทั้งสองมาบวกกัน จะได้ว่า $f(\frac{x}{2})+f(\frac{y}{2})=\frac{1}{2}[f(x)+f(y)]+f(0)$
พิจารณา $g(\frac{x}{2})+g(\frac{y}{2})=f(\frac{x}{2})+f(\frac{y}{2})-2f(0)=\frac{1}{2}[f(x)+f(y)]-f(0)=g(\frac{x+y}{2})$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการโคชี
เเต่พอถึงตรงนี้จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่า $f$ เป็นฟังก์ชั่นที่มีสมบัติตามสมการโคชี รบกวนเทพทีครับ
