จริงด้วยๆ ผมต้องใช้คำว่า group isomorphism ถึงจะเหมาะสม (นั่ง diff - integrate อยู่ที่ mathcenter จนลืมอย่างอื่นหมดเลย
แต่ก่อนผมเคยอยากเขียนพิสูจน์เป็นภาษาอังกฤษ เพราะรู้สึกว่าง่ายกว่า แต่ไม่ได้ทำเพราะกลัวจะโดนหาว่า ด.จ.ร. พอมาถึงวันนี้เห็นคนอื่นเขียน เลยจะเอาบ้าง ปรากฎว่าเขียนไม่ออกซะแล้ว มันหายจากหัวไปเกลี้ยงเลยครับ
)
ไหนๆก็คิดมาแล้ว ขออนุญาตแปะอีกสักตัวอย่างนะครับ
ถ้าเราลองเปลี่ยนมาใช้ group $ ( \mathbb R^+, \times ) $ เราก็ต้องพยายามหา homeomorphism $ f: (0,1) \to \mathbb R^+ $ ที่มีสมบัติว่า $ f(1-x) = 1/f(x) $ ซึ่งผมเจออันนึงคือ $ f(x) = x/(1-x) $ ดังนั้นคราวนี้เราจะได้ $$ x*y = f^{-1} (f(x)f(y)) = \frac{xy}{ 1+2xy-x-y } $$ เป็นสูตรที่น่าดูขึ้นหน่อยครับ
