อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
18. Show that every group of order 2006 has a normal Sylow p-subgroup for some prime $p$ dividing 2006.
|
ให้สังเกตว่า $2006=2\cdot17\cdot59$ โดย Third Sylow Theorem จำนวนของ Sylow 59-subgroup จะต้องหาร 2006 ลงตัว และจะต้องอยู่ในรูป $59k+1$, $k\ge0$ ดังนั้น group ที่มีขนาด 2006 จะมี Sylow 59-subgroup ได้เพียงอันเดียว ดังนั้นมันจึงต้องเป็น normal subgroup ด้วย
พิจารณา Sylow 17-subgroup แทน 59 ก็ได้ครับ
ผมรู้สึกว่าข้อนี้มันง่ายผิดปกติ ไม่รู้ว่ามีเงื่อนงำอะไรซ่อนอยู่รึเปล่า แล้วนี่ผมก็ยังไม่รู้ว่าที่ทำไปตรงกับแนวของ hint ที่คุณ nooonuii ให้มา (Count number of elements in $G$.) หรือเปล่า แต่โจทย์ข้อนี้ทำให้ผมได้ข้อสังเกตมาอย่างนึงคือ
ถ้า $p^n\||G|$ และ $p^n(p+1)>|G|$ แล้ว $G$ จะมี normal Sylow $p$-subgroup
ข้อ 18. นี่เป็นโจทย์ข้อสอบ qualify เหรอครับ ทำเหมือนโจทย์โอลิมปิกเลย มีการใช้ปี ค.ศ. ปัจจุบันด้วย อย่างนี้ก่อนเข้าสอบ ก็ต้องเตรียมแยกตัวประกอบไปน่ะสิครับ