อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
26. ให้ $A,B\in Mat_n\mathbb{R},\ A=(a_{ij}),\ B=(b_{ij})$ เป็นเมตริกซ์จัตุรัสสองเมตริกซ์ที่กำหนดโดย $$a_{ij}=(-1)^{\text{max}(i,j)},\ b_{ij}=(-1)^{\text{min}(i,j)},\ i,j=1,2,\dots ,n$$ ตามลำดับ จงแสดงว่า $$\det A=\det B$$ (Gazeta Mathematica no. 12/1981 problem 19035, proposed by Marius Dadarlat)
|
ให้ $C$ เป็น matrix ที่เกิดจากการคูณแถวที่ $i$ ของ matrix $A$ ด้วย $(-1)^i$
จะได้ว่า $det(C) = (-1)^{n(n+1)/2}det(A)$
ให้ $D$ เป็น matrix ที่เกิดจากการคูณแถวที่ $i$ ของ matrix $C^t$ด้วย $(-1)^i$
จะได้ว่า $det(D) = (-1)^{n(n+1)/2}det(C^t) = det(A)$
ต่อไปพิจารณา matrix $E = D^t$ เราจะได้ว่า
$$e_{ij} = (-1)^{\max(i,j)+i+j} = (-1)^{2\max(i,j) + \min(i,j)} = (-1)^{\min(i,j)} = b_{ij} $$
เนื่องจาก $\max(i,j) + \min(i,j) = i+j$
ดังนั้น $det(A) = det(B)$
