ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมใดๆ จะมีจุด $P$, $Q$, $R$ ที่ทำให้ $AQ$, $BR$, $CP$ เเบ่งครึ่งมุม $BAC$, $ABC$, เเละ $BCA$ ตามลำดับโดยที่ จุด $P$, $Q$, $R$ อยู่บนด้านของสามเหลี่ยม $AB$, $BC$, $CA$ ตามลำดับ จะได้ว่าเส้นเเบ่งครึ่งมุมของสามเหลี่ยม $ABC$ คือ $AQ$, $BR$, $CP$ ตัดกันจุดเดียว จุดตัดดังกล่าวเป็นจุดศูนย์กลางวงกลมเเนบในสามเหลี่ยม $ABC$
จากทฤษฎีบทที่ว่า จากจุดภายนอกของวงกลมลากเส้นตรงไปสัมผัสวงกลมได้สองจุดซึ่งความยาวของเส้นสัมผัสวงกลมจะเท่ากัน ดังนั้นในสามเหลี่ยม $ABC$ เราจะได้ว่าจุดสัมผัสของวงกลมเเนบในสามเหลี่ยมดังกล่าวคือ $P$, $Q$, $R$ เพราะฉะนั้นเส้นสัมผัสวงกลม $AP=AR$, $BP=BQ$ เเละ $CQ=CR$
จากข้อความข้างต้นเราได้ว่าในสามเหลี่ยม $ABC$ $AB=AP+PB$, $BC=BQ+QC$ เเละ $CA=CR+RA$ เเละใช้ความสัมพันธ์ที่ว่า $AP=AR$, $BP=BQ$ เเละ $CQ=CR$ จะได้ว่า $AB=AP+PB$, $BC=PB+CQ$ เเละ $CA=CQ+AP$
ถ้าให้ $AP=x$, $PB=y$ เเละ $CQ=z$ เราจะได้ว่า $AB=x+y$, $BC=y+z$, $CA=z+x$ ซึ่งการที่ด้านของสามเหลี่ยมใดๆ จะมี $x,y,z$ ร่วมดังกล่าวด้วยเหตุนี้ครับผม
จากทฤษฎีบทที่ว่าสำหรับสามเหลี่ยม $ABC$ ใดๆ $AB+BC>CA$, $BC+CA>AB$ เเละ $CA+AB>BC$ เสมอ
กลับมาดูที่โจทย์นะครับ โจทย์บอกว่า $0<a,b,c<1$ เเละ $a+b+c=2$ การพิสูจน์ว่า $a,b,c$ เป็นด้านของสามเหลี่ยม จากการที่ $a<1$ จะได้ $2a<2=a+b+c$ ทำให้ได้ว่า $b+c>a$ พิสูจน์ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า $a+b>c$ เเละ $c+a>b$ เหมือนกัน จากทฤษฎีบทที่อ้างไว้ $a,b,c$ เป็นด้านของสามเหลี่ยมจึงมี $x,y,z$ ที่ทำให้ $a=x+y$, $b=y+z$, $c=z+x$ ตามต้องการครับ
ผมฝากโจทย์ถามคุณ nooonuii หน่อยสิครับ โจทย์ของ Vasile $(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3(a^3b+b^3c+c^3a)$ จะจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์เเบบที่เห็นๆกันได้ยังไงอ่ะครับ ที่ข้างในกำลังสองมันมีอยู่หลายพจน์มากเลย ผมดูเเล้วไม่มีวิธีพิจารณาเลยอะครับ เพราะจำนวนพจน์มันมากจริงๆ
