ยากจริงๆข้อนี้
แยกเป็นสองกรณี คือ \( a+b,b+c,c+a\,\, \) ทุกตัวมากกว่าหรือเท่ากับหนึ่ง และอีกกรณีคือ มี \( a+b\leq1 \)
กรณีแรก ให้ \( x=b+c,y=c+a,z=a+b\,\, \) จะได้ว่า
\[
\frac{1+a^2b^2}{(a+b)^2}=-\frac{1}{2}-\frac{(x-y)^2}{2z^2}+xy\geq-\frac{1}{2}-\frac{(x-y)^2}{2}+xy=\frac{1}{2}-\frac{(b-a)^2}{2}+c^2
\]
เมื่อบวกกันทั้งหมด จะได้
\[
\sum_{cyc}\frac{1+a^2b^2}{(a+b)^2}\geq\frac{3}{2}+\sum_{cyc}c^2-\frac{(b-a)^2}{2}=\frac{5}{2}
\]
กรณี มี \( a+b\leq1\,\, \) กรณีนี้ยากกว่ากรณีแรก ขอไม่โพสละกันเดี๋ยวจะยาวเกิน
