จาก Newton's Relation ที่ว่า
\[P_m = \begin{cases}
\left(S_1P_{m-1} - S_2P_{m-2} + \cdots + (-1)^{(m-1)+1}S_{m-1}P_{1}\right) + (-1)^{m+1} m S_{m} & \textrm{ เมื่อ }m \leqslant n \\
S_1P_{m-1} - S_2P_{m-2} + \cdots + (-1)^{n+1} S_nP_{m-n} & \textrm{ เมื่อ }m > n
\end{cases}\]
ในกรณีนี้ \(n = 3\) และเนื่องจาก \( a + b + c = 0 \) หรือ \( P_1 = S_1 = 0\) จะได้
\[\begin{array}{rcl}
P_1 & = & S_1 = 0 \\
P_2 & = & S_1P_1 - 2S_2 = -2S_2 \text{หรือ} S_2 = -\frac{1}{2}P_2 \\
P_3 & = & S_1P_2 - S_2P_1 + 3S_3 = 3S_3 \text{หรือ} S_3 = \frac{1}{3}P_3 \\
P_4 & = & S_1P_3 - S_2P_2 + S_3P_1 = \frac{1}{2}P_2^2 \\
P_5 & = & S_1P_4 - S_2P_3 + S_3P_2 = \frac{1}{2}P_2P_3 + \frac{1}{3}P_2P_3 = \frac{5}{6}P_2P_3 \\
\text{หรือ}\ a^5 + b^5 + c^5 & = & \frac{5}{6} \left(a^2 + b^2 + c^2\right) \left(a^3 + b^3 + c^3\right)\ \text{ตามต้องการ}
\end{array}\]
ใครพอใจอยากหา \(P_m\) ถึงขั้นไหนก็เชิญหากันตามสะดวก
