[nooonuii]

ผมเคยทำโจทย์ข้อนี้มาก่อนครับ ไม่แน่ใจว่าโจทย์ดั้งเดิมมาจากไหนแต่เห็นอยู่บ่อยๆในหนังสือเกี่ยวกับคณิตศาสตร์โอลิมปิก

โจทย์ข้อนี้เป็นหนึ่งในโจทย์จากบทความเรียนพีชคณิตจากโจทย์ชุดที่ 6 ซึ่งผมจะเขียนเกี่ยวกับรากของพหุนามและความสัมพันธ์กับสัมประสิทธิ์ครับ

ให้ $p = ab+bc+ca , q = abc$ จะได้

$a^2 + b^2 + c^2= - 2p, a^3+b^3+c^3 = 3q$

เนื่องจาก $a,b,c$ เป็นรากของพหุนาม $t^3 + pt - q$

เราจึงได้ $a^5 = qa^2-pa^3,b^5=qb^2-pb^3,c^5=qc^2-pc^3$

ดังนั้น

$a^5+b^5+c^5 = q(a^2+b^2+c^2) - p(a^3+b^3+c^3)$
$~~~~~~~~~~~~~~~= -2pq-3pq$
$~~~~~~~~~~~~~~~= -5pq$
$~~~~~~~~~~~~~~~=5\left(\dfrac{-2p}{2}\right)\left(\dfrac{3q}{3}\right)$
$~~~~~~~~~~~~~~~=5\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\right)\left(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\right)$