จะพิสูจน์ว่า ห.ร.ม. ของ 2000n+1 กับ 2008n + 1 มีค่าเท่ากับ 1 เสมอดังนี้
สมมติให้ d เป็นตัวหารร่วมของ 2000n + 1 กับ 2008n + 1 ดังนั้น
d | (2000n+1) และ d | (2008n+1)
ดังนั้น d | [(2008n+1) - (2000n+1)] = 8n
ถ้า d | 8n แล้ว d | 2000n
และสุดท้ายการที่ d | 2000n กับ d | 2000n+1
แล้วทำให้ d | [(2000n+1)-2000n] = 1
นั่นคือ d | 1 แล้วตัวหารร่วมของ 2000n + 1 กับ 2008n + 1 มีค่าเป็น 1 เท่านั้น แสดงว่า ตัวหารร่วมมากของทั้งสองคือ 1
ดังนั้น
$(2000n+1)(2008+1) = k^2$
$\iff 2000n+1 = m^2$ และ
$\iff 2008n + 1 = n^2$
โดยที่ ห.ร.ม. ของ (m, n) = 1
น่าจะไปต่อได้แล้วนะครับ.
