[กิตติ]

ข้อแรกผมคิดได้$p=12$ ดังนั้น$p^2+1 = 145$..เอาแค่สั้นๆ เพราะสมการติดตัวเลขเยอะ ถ้าเขียนทุกขั้น ผมตายก่อนแน่ๆ
แปลงสมการให้เป็น$(x-3)^2+(y-4)^2=25$เป็นสมการของวงกลม
จากสมการ$px+5y+9=0$ เขียน$y$ในรูปของ$x$
ได้ว่า$y=\frac{-(9+px)}{5} $ นำค่าของ$y$ไปแทนในสมการวงกลม
จะได้สมการว่า
$(p^2+25)x^2+(58p-150)x+441=0$
สมการนี้จะมีคำตอบเดียวเมื่อ$b^2=4ac$....คำว่ามีจุดสัมผัสเป็นตัวบอกว่ามีค่า$x,y$เพียงคู่เดียวเป็นคำตอบของสมการ
ดังนั้น$(58p-150)^2 = 4(441)(25+p^2)$
ได้สมการของค่า$p$คือ$8p^2-87p-108=0$
แก้สมการได้ค่า$p=(\frac{-9}{8} ), 12$
โจทย์กำหนดค่า$p$เป็นจำนวนจริงบวก จึงเหลือค่า$p$ทื่ใช้ได้คือ $12$

ผมลองแก้โจทย์โดยใช้วิธีสร้างสมการเส้นตรงอีกเส้นที่ตั้งฉากกับจุดสัมผัส วิธีนี้ต้องแก้ค่า$p$กำลังสาม วุ่นวาย เสียเวลาเยอะ วิธีนี้น่าจะเปลืองเวลาน้อยกว่าวิธีสร้างสมการเส้นตรง แต่ต้องทอนตัวเลขเยอะมาก....