สำหรับคนที่ไม่เคยเรียนมาก่อน เขียนพิสูจน์ได้ขนาดนี้ก็ถือว่าเยี่ยมแล้วครับ (อย่างน้อยก็ดีกว่าผมซึ่งตอนแรกเขียนไม่เป็นเอาเลยจริงๆ)
ถ้าให้ผมพิสูจน์ข้อ 1 ก็คงทำดังนี้
เนื่องจากเราต้องการพิสูจน์ว่า \(f^{-1}(f(E))=E\) เราก็แบ่งการพิสูจน์ออกเป็น 2 ส่วนคือ พิสูจน์ว่า \(E\subseteq f^{-1}(f(E))\) และพิสูจน์ว่า \(f^{-1}(f(E))\subseteq E\)
สำหรับข้อความ \(E\subseteq f^{-1}(f(E))\) นั้นเป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชันอยู่แล้ว ผมจึงขอข้ามการพิสูจน์ไป
ส่วนข้อความ \(f^{-1}(f(E))\subseteq E\) อันนี้ก็คงเป็นอันที่เราต้องใช้ความจริงที่ว่า f เป็น injection นั่นเอง สำหรับการพิสูจน์การเป็น subset ก็ทำตามหลักมาตรฐานคือใช้วิธีพิสูจน์ว่า\[x\in f^{-1}(f(E))\quad\Rightarrow\quad x\in E\]ซึ่งผมก็ทำคล้ายๆกับที่คุณ rigor ทำให้ดูนั่นแหละคือ จาก \(x\in f^{-1}(f(E))\) ดังนั้น \(f(x)\in f(E)\) แสดงว่าจะต้องมี \(y\in E\) ที่ทำให้ \(f(x)=f(y)\) แต่เรารู้ว่า \(f\) injective ดังนั้น \(x=y\) นั่นคือเราจะได้ว่า \(x\in E\) ตามต้องการครับผม
ป.ล. ผมว่าถ้ารามานุจันต้องโดนเขียนพิสูจน์อะไรแบบนี้ อาจไม่มีโอกาสแจ้งเกิดก็เป็นได้นะ
