[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

กำหนด $x+\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} = 1024$
จงหาคำตอบของสมการ

ผมไม่ใช้วิธีการแก้สมการแต่ลองแปลงพจน์ด้านซ้ายมือที่ติดค่า$x$ให้เป็นรูปอย่างง่ายที่สุดก่อนโดยไม่ยุ่งกับ$1024$
จาก$x+\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}$
แปลง$\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}$
จาก$\sqrt{a+\sqrt{b} } = \sqrt{c} +\sqrt{d} $
ยกกำลังสองแล้วได้$a+\sqrt{b} = c+d+\sqrt{4cd} $
ดังนั้น $c+d =a$ และ$4cd=b$
ให้$a=x+\frac{1}{2} $และ$b=x+\frac{1}{4}$ $\rightarrow x=4cd-\frac{1}{4} $
$c+d =x+\frac{1}{2}$ และ แทนค่า$x$ลงไปจะได้ $c=\frac{1}{4} $ และ$d=x+\frac{1}{4}$
$\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} = \sqrt{\frac{1}{4}} +\sqrt{x+\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} +\sqrt{x+\frac{1}{4}}$

$x+\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} =x+\frac{1}{2} +\sqrt{x+\frac{1}{4}}$
$x+\frac{1}{2} +\sqrt{x+\frac{1}{4}} = 1024 =4^2\times 8^2$
นำไปหารูทที่สองจะได้ว่า
$\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=\sqrt{4^2\times 8^2} = 4\times 8 =32$
$\frac{1}{2} +\sqrt{x+\frac{1}{4}} = 32$
$\sqrt{x+\frac{1}{4}} = \frac{63}{2} $
ยกกำลังสองอีกที $x+\frac{1}{4} =\frac{63^2}{4} $
$x=\frac{63^2-1}{4} = \frac{62\times 64}{4} =62\times 16= 992$
ลองแทนคำตอบดูแล้วใช้ได้....ผมไม่แน่ใจว่าวิธีของผมนั้นจะถูกต้องหรือเปล่าลองแปลงไปเรื่อยๆก่อนเท่านั้น ตรงไหนคิดผิดก็ช่วยบอกผมด้วยครับ

ที่น้องSirenใช้วิธีแบบนั้นก็ได้คำตอบสองค่า แต่อย่าลืมลองแทนกลับดูว่าค่าไหนใช้ได้ค่าไหนใช้ไม่ได้ด้วย
ที่หาได้นั้นคือ$(x-992)(x-1056)=0 \rightarrow x=1056$นั้นใช้ไม่ได้เพราะทำให้$\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} = -32 $ซึ่งค่าที่ถอดจากรูทนั้นต้องเป็นบวกเท่านั้น จึงเหลือคำตอบเดียวคือ$x=992$