ข้อ 2) สมมติให้ x = w เมื่อ w เป็นรากที่ 3 ของ 1 ตัวแรก กล่าวคือ $1+w+w^2 = 0, w^3 = 1$
โจทย์บอกว่า n เป็นจำนวนคี่(บวก) ที่หารด้วย 3 ไม่ลงตัว
แสดงว่า n = 6k + 1 หรือ 6k + 5 สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก k รวมศูนย์
แทน x = w ลงในพหุนามที่ให้มาจะได้ว่า
$(1+x)^n - x^n - 1 = (1 + w)^n - w^n - 1 = (-w^2)^n - w^n - 1$
$= -(w^{2n} + w^n + 1)$
กรณีที่ n = 6k + 1 ; $= -(w^{2n} + w^n + 1) = -(w^{12k+2} + w^{6k+1} + 1)$
$=-(w^2 + w + 1) \quad (\because w^3 = 1) = 0$
กรณีที่ n = 6k + 5 ก็ทำนองเดียวกัน
ดังนั้น x - w จะเป็นตัวประกอบของพหุนามดังกล่าว ***
ในทำนองเดียวกัน จะสามารถแสดงได้ว่า ถ้าสมมติให้ $x = w^2$ ก็จะได้ว่า พหุนามที่โจทย์ให้มามีค่าเท่ากับศูนย์
ดังนั้นทั้ง $x - w$ และ $x - w^2$ จะเป็นตัวประกอบของพหุนามที่ให้มา
แต่ $(x - w)(x-w^2) = x^2 - (w+w^2)x + w^3 = x^2 - (-1)x + 1$
นั่นคือ $(1+x)^n - x^n - 1$ จะหารด้วย $x^2 + x + 1$ ทุกจำนวนเต็มคี่บวกที่หารด้วย 3 ไม่ลงตัว
