[nooonuii]

สวัสดีปีใหม่ 2549 ครับทุกท่าน ขออำนาจคุณพระศรีรัตนตรัยจงคุ้มครองและดลบันดาลให้สมาชิกทุกท่านมีความสุขตลอดปีใหม่นี้และตลอดไป ขอให้ทุกอย่างเป็นดั่งใจปราถนา สุขสมหวังกันถ้วนหน้าครับ ปีนี้มีโจทย์มาฝากอีกเช่นเคย ส่วนใหญ่คิดเองครับ

1.(อสมการ) ให้ a,b,c > 0 จงพิสูจน์ว่า
\[ \frac{a}{\sqrt{7a^2 + b^2 + c^2 }} + \frac{b}{\sqrt{a^2 + 7b^2 + c^2 }} + \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + 7c^2 }} \leq 1 \]

2.(อสมการ) ให้ a,b,c > 0 โดยที่ a + b + c = 3 จงพิสูจน์ว่า
\[ \frac{a^n}{b+1} + \frac{b^n}{c+1} + \frac{c^n}{a+1} \geq \frac{3}{2} \]
ทุกจำนวนเต็ม n

3.(ทฤษฎีจำนวน) ให้ \( p_1 , p_2, ?, p_n \) เป็นลำดับของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน จงพิสูจน์ว่า
\[ \frac{p_1}{p_2} + ... + \frac{p_{n-1}}{p_n} \]
ไม่เป็นจำนวนเต็ม

4.(คอมบินาทอริก) จงหาค่าของผลบวกต่อไปนี้ในรูปอย่างง่าย
\[ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{i+j+1} {n \choose i} {n \choose j} \]

5.(ฟังก์ชัน) ให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริง และนิยาม \( f : R^2 \rightarrow R^2 \) โดย
\[ f(x,y) = (ax+by,cx+dy) \]
จงพิสูจน์ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันทั่วถึง

6.(Advanced Linear Algebra) ให้ A,B เป็น matrix ขนาด 3x3 โดยที่ \( A^4 = 0 \) และ ABA = BAB จงพิสูจน์ว่า I ? AB และ I ? BA เป็น invertible matrix

7.(พีชคณิตของพหุนาม) ให้ P(z) เป็นพหุนามในจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง |Re(P(z))| = |Im(P(z))| ทุกค่า z จงพิสูจน์ว่า มีจำนวนจริง a ซึ่งทำให้
\[ [P(z)]^4 + 4a^4 = 0 \]
ทุกค่า z

8.(เรขาคณิต) ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมใดๆ D เป็นจุดบน AB ซึ่งทำให้ส่วนของเส้นตรง CD แบ่งครึ่งมุม ACB จงพิสูจน์ว่า (AD)(BC) = (AC)(BD)

9.(Advanced Calculus) จงหาค่าของ
\[ \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} e^{-(x^2+y^2)} dxdy \]

10.(Basic Calculus) ให้ P(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามกำลังสามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงซึ่งมีรากเป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันมากกว่าหนึ่งราก จงพิสูจน์ว่า P(x) มีค่าต่ำสุดและสูงสุดสัมพัทธ์

สมาชิกท่านใดมีโจทย์มาร่วมด้วยก็ไม่ขัดข้องครับ
Happy New Year 2006!!

P.S. จะกลับมาเฉลยข้อที่ยังไม่มีคำตอบหลังวันที่ 11 นะครับ