[passer-by]

ข้อ 10

แบ่งเป็น 2 กรณี

(1) p(x) มีรากต่างกัน 3 ราก (say , p(a)=p(b)=p(c)=0 (a<b<c) )

จาก Rolle's theorem จะมี c₁ in (a,b) and c₂ in (b,c) ซึ่ง

p^'(c₁)=p^'(c₂)=0

Apply Rolle's theorem again

ดังนั้น จะมี d in (c₁, c₂) ซึ่ง p^"(d)=0

แต่ p^"(x) เป็น linear function

ดังนั้น p^"(c₁) และ p^"(c₂) มี เครื่องหมายต่างกัน แสดงว่า p(x) มีทั้ง local max & local min ตามต้องการ ( กล่าวคือ ที่ c₁ และ c₂)

(2)p(x) มีรากต่างกันเพียง 2 ราก (say p(a)=p(b)=0 (a<b) )

จาก Rolle's theorem จะได้ว่ามี c in (a,b) ซึ่ง p^'(c)=0

ถ้า c เป็นเพียงรากเดียวของ p^'(x)=0 จะทำให้
p(x) อยู่ในรูปแบบ m(x-c)³+d โดย mน0
ซึ่งถ้า p(a)=p(b) แล้ว a=b เสมอ ซึ่งขัดแย้งกับ a<b

ดังนั้นต้องมี k นc ซึ่ง p^'(k)=0

เท่ากับว่าตอนนี้ p^'(c)=p^'(k)=0

แล้วก็อ้างแบบเดียวกับ กรณีที่ 1 ก็จะได้ p(x) มีทั้ง local min & local max