อสมการการจัดเรียงคืออสมการที่พิจารณาค่าสูงสุดต่ำสุดของผลคูณในรูป
$a_1b_1+\cdots+a_nb_n$
ถ้าเรานำ $a_1,...,a_n$ มาเรียงค่าจากน้อยไปมากได้เป็น
$c_1,...,c_n$
และนำ $b_1,...,b_n$ มาเรียงค่าจากน้อยไปมากได้เป็น
$d_1,...,d_n$
เราจะได้อสมการการจัดเรียงคือ
$c_nd_1+c_{n-1}d_2+\cdots+c_1d_n\leq a_1d_1+a_2d_2+\cdots+a_nd_n\leq c_1d_1+c_2d_2+\cdots c_nd_n$
อสมการนี้จริงบนจำนวนจริงใดๆ
-----------------------------------------------------------------------------------
สมมติเป็นอสมการเอกพันธ์ในตัวแปร $a,b,c$
เปลี่ยนตัวแปรโดยให้ $x=\dfrac{a}{a+b+c},y=\dfrac{b}{a+b+c},z=\dfrac{c}{a+b+c}$
เนื่องจากเป็นอสมการเอกพันธ์ การถ่วงน้ำหนักตัวแปรด้วยค่าคงที่ใดก็ตามจะไม่ส่งผลต่ออสมการ
หมายความว่าถ้าเราแทนค่า $a=x(a+b+c),b=y(a+b+c),c=z(a+b+c)$ เข้าไปในอสมการเดิม
แต่ละเทอมจะมีตัวประกอบที่อยู่ในรูป $(a+b+c)^k$ เสมอซึ่งสุดท้ายเราสามารถตัดทอนกันได้หมด
อสมการที่เหลืออยู่ก็คืออสมการในรูปแบบเดิมทุกประการแต่อยู่ในรูปตัวแปร $x,y,z$ ทั้งหมด
แต่จะเห็นได้ว่า $x+y+z=1$ สุดท้ายก็เลยได้ว่า เราต้องพิสูจน์อสมการเดิมในรูปตัวแปรใหม่ แต่มีเงื่อนไข
$x+y+z=1$ เข้ามาแทน ดังนั้นถ้ามองย้อนกลับไปที่ตัวแปรชุดเดิม การสมมติว่า $a+b+c=1$ ตั้งแต่ต้นก็ไม่ได้เสีย
นัยทั่วไปในการพิสูจน์แต่อย่างใด
ตัวอย่าง
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$$
ให้ $x=\dfrac{a}{a+b+c},y=\dfrac{b}{a+b+c},z=\dfrac{c}{a+b+c}$
แทนค่า $a=x(a+b+c),b=y(a+b+c),c=z(a+b+c)$ ลงไปจะได้
$$\dfrac{x(a+b+c)}{y(a+b+c)+z(a+b+c)}+\dfrac{y(a+b+c)}{z(a+b+c)+x(a+b+c)}+\dfrac{z(a+b+c)}{x(a+b+c)+y(a+b+c)}\geq\dfrac{3}{2}$$
$$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\geq\dfrac{3}{2}$$
สำหรับการสมมติเงื่อนไขอื่นก็ทำโดยการเปลี่ยนตัวแปรเหมือนกันเช่น
ถ้าเปลี่ยนตัวแปรเป็น
$x=\dfrac{a}{\sqrt[3]{abc}},y=\dfrac{b}{\sqrt[3]{abc}},z=\dfrac{c}{\sqrt[3]{abc}}$
เราก็จะได้อสมการเดิมแต่มีเงื่อนไข $xyz=1$ เพิ่มขึ้นมา
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|