ขออนุญาตโพสต์อีกแนวคิดหนึ่งนะครับ
สิ่งที่โจทย์ต้องการถามคือ
$$ \sum_{n=1}^\infty b(n)\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} =\sum_{n=1}^\infty b(n)\bigg(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2} \bigg) $$
ซึ่งก็คือ
$$ 1+\sum_{n=1}^\infty \frac{b(n+1)-b(n)}{(n+1)^2} \qquad ...(1)$$
สิ่งที่ สังเกตได้ จาก $b(n)$ มีดังนี้[*]$b(2n)\ =\ b(n)$[*]$b(2n+1)-b(2n)\ =\ 1$[*]$b(2n-1)\ =\ b(2n-2)+1\ =\ b(n-1)+1$
แบ่งกรณี
n เป็นคู่ (ให้เป็น 2m) รวมกับ +1 ข้างหน้าด้วย เป็น
$$ 1+\sum_{m=1}^\infty \frac{b(2m+1)-b(2m)}{(2m+1)^2} $$
$$ =1+\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{(2m+1)^2} $$
$$ =1+\frac 1{3^2}+\frac 1{5^2}+... \ =\ \frac{\pi ^2}{8}$$
กับอีกกรณีนึงคือ
n เป็นคี่ (ให้เป็น 2m-1)
$$ \sum_{m=1}^\infty \frac{b(2m)-b(2m-1)}{(2m)^2} $$
$$ =\frac 14 \bigg(\sum_{m=1}^\infty \frac{b(m)-b(m-1)-1}{m^2}\bigg) $$
$$ =\frac 14 \bigg(\sum_{m=1}^\infty \frac{b(m)-b(m-1)}{m^2}\bigg) -\frac 14 \bigg(\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m^2}\bigg)$$
$$ =\frac 14 \bigg(\sum_{n+1=1}^\infty \frac{b(n+1)-b(n)}{(n+1)^2}\bigg) -\frac{\pi ^2}{24}$$
$$ =\frac 14 +\frac 14 \bigg(\sum_{n=1}^\infty \frac{b(n+1)-b(n)}{(n+1)^2}\bigg) -\frac{\pi ^2}{24}$$
รวมกับกรณีที่ n เป็นคู่ ด้วย จะได้สิ่งที่โจทย์ถามคือ
$$ =\frac{\pi ^2}{12}+\frac 14 +\frac 14 \bigg(\sum_{n=1}^\infty \frac{b(n+1)-b(n)}{(n+1)^2}\bigg) $$
เปรียบเทียบกับ $(1)$ ให้ ก้อนซิกม่านั้นคือ y
$$1+y=\frac{\pi ^2}{12}+\frac 14 +\frac 14 y$$
แก้สมการได้
$$y\ =\ \frac{\pi ^2}{9}-1$$
นำกลับไปแทนใน $(1)$ สิ่งที่โจทย์ถามคือ y+1 นั่นคือ
$$y+1\ =\ \frac{\pi ^2}{9}-1+1\ =\ \frac{\pi ^2}{9}$$
Edit 1 : แก้ไข ตรง $\displaystyle{ \sum_{m=1}^\infty \frac{b(2m)-b(2m-1)}{(2m)^2} =...=\frac 14 \bigg(\sum_{m=1}^\infty \frac{b(m)-b(m-1)}{m^2}\bigg) -\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m^2}}$
ตามคำแนะนำของพี่ nongtum ครับ