[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ถ้า $x=-\dfrac{1}{2}$ อ่ะครับ $y=-\sqrt{2}$
ผมว่าน่าจะคิดงี้นะครับ
จาก $y=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x}$
$x^2y^2=x+1$ จะได้ $x^2=\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{1}{y^2}$ นั่นคือ $x^2-\dfrac{x}{y^2}-\dfrac{1}{y^2}=0$
โดยสูตรสมการกำลังสองจะได้ว่า $x=\dfrac{\dfrac{1}{y^2}\pm \sqrt{\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{4}{y^2}}}{2}$
เนื่องจากเป็นการดำเนินการบนจำนวนจริงดังนั้น $\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{4}{y^2}\geqslant 0$ และ $y\not = 0$
เพราะฉะนั้นจะได้ $y\in \mathbb{R} -\{0\}$
จะได้ว่า Domain คือ $[-1,0)\cup (0,\infty )$ และ Range คือ $ \mathbb{R} -\{0\}$

เข้ามาบอกว่าที่คุณ Ne[S]zA บอกว่า Range คือ $ \mathbb{R} -\{0\}$ เพราะคุณ Ne[S]zA ไปยอมรับซะก่อนแล้วว่า y$\not= 0$ จึงนำ $y^2$ ไปหารตลอด ซึ่งไม่ได้คิดกรณีว่า $y =0$ เพราะโจทย์ไม่ได้กำหนดไว้หรือแสดงให้เห็นว่าส่วนเป็น $y$
อันที่จริงใช้ดู ดิสครีมิเนนต์ก็ได้ โดยดูว่า $1+4y^2\geqslant 0$ และต้องพิจารณาต่อว่ารากที่ได้ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ -1 ด้วย ซึ่งก็จะทำให้ y สามารถเป็นจำนวนจริงได้