คุณ passer-by นี่ช่างสรรหาโจทย์ยากๆมาได้เสมอเลย คราวนี้ไปเอามาจากไหนอีกล่ะครับ
ถ้า $n\ne0$ เป็นจำนวนเต็ม และ $r$ เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ $2^r|\,n$ แต่ $2^{r+1}\not|\,n$ (นั่นคือ $2^r\|\,n$) แล้วเราจะเรียก $r$ ว่าเป็น 2-adic value ของ $n$ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $v_2(n)$
จากสูตรของ Legendre เรารู้ว่า$$v_2(n!)= \sum_{i=1}^\infty \bigg\lfloor \frac{n}{2^i} \bigg\rfloor$$ถ้าเราเขียน $n$ ในรูป $n=a_k2^k+ a_{k-1}2^{k-1}+ \dots+ a_12^1 +a_0$ โดยที่ $2^k\le n <2^{k+1}$ และ $a_0,a_1,\dots,a_k$ มีค่าเป็น 0 หรือ 1 แล้วเราจะพบว่า$$v_2(n!)= n- (a_0+ a_1+ \dots+ a_k)= n- b(n)$$โดยที่ $b(n)$ คือจำนวนของบิท 1 ใน binary representation ของ $n$
ให้สังเกตว่า $b(n)\le k+1\le 1+\log_2n$
เราสามารถพิสูจน์ข้อความในโจทย์ได้โดยการแสดงว่า $n\not| \, v_2((n^2)!)$ เมื่อ $n\ge2$
จาก $v_2((n^2)!)= n^2-b(n^2)$ ดังนั้นเราจึงต้องการแสดงว่า $n\not| \,b(n^2)$ เมื่อ $n\ge2$
ในกรณีที่ $n=2,3,\dots,6$ เราจะเห็นว่า $n\not| \,b(n^2)$ จริง
ในกรณีที่ $n\ge7$ เราจะพิสูจน์ว่า $n\not| \,b(n^2)$ โดยการแสดงว่า $b(n^2)<n$ ดังนี้
จาก $b(n^2)\le 1+\log_2n^2$ ดังนั้นเราจึงต้องการแสดงว่า เมื่อ $n\ge7$ แล้ว $1+\log_2n^2<n$ นั่นคือการแสดงว่า $n^2<2^{n-1}$ ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้ induction ครับ
