[warut]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
ตอนที่ผม post ข้อความขณะนี้ ผมยังไม่ได้อ่าน คำตอบคุณ warut อย่างละเอียดหรอกครับ แต่รู้สึกว่า มันจะยากกว่าแบบที่ใช้ Tchebyshev theorem มาช่วย หลายเท่าตัวมากๆ

ถ้าใช้ Chebyshev Theorem จะง่ายกว่าเยอะครับ แต่ถ้าคำนึงถึงที่มาของ Chebyshev Theorem ด้วย วิธีที่ผมใช้นี่จะง่ายกว่ามากครับ เพราะใช้แค่ความรู้พื้นฐานเท่านั้น แต่ผมก็ยังไม่รู้ว่ามีวิธีอื่นที่ดีกว่าของผมรึเปล่านะ

ถ้าใช้ Chebyshev Theorem จะเป็นการ attack ที่ large prime factor ตัวนึงของ $(n^2)!$ ว่ามันมีอยู่ซ้ำกันน้อยครั้งเกินกว่าจะฟอร์มเป็น perfect $n^{\text{th}}$ power ได้

แต่แบบที่ผมทำจะ attack ที่ smallest prime factor นั่นคือ 2 โดยแสดงว่ามันมีอยู่ซ้ำกันเป็นจำนวนครั้งที่ไม่ใช่ multiple ของ $n$ ครับ

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
ส่วนเรื่องที่มาของคำถามข้อนี้ อยากจะบอกว่า เป็นแค่การพิสูจน์ lemma ของโจทย์เท่านั้นครับ โจทย์จริงๆ คือ

กำหนดให้ nณ2 จงแสดงว่า ไม่สามารถ วางเลข 1,2,3,...,n² ลงใน จัตุรัส nxn โดยผลคูณสมาชิกทุกแถวหรือทุกหลักเท่ากันได้

แต่ถ้าพิสูจน์ lemma นี้ได้แล้วที่เหลือก็จะตามมาทันทีเลยใช่มั้ยครับ

สมมติให้ผลคูณของแต่ละแถวเป็น $x$ ดังนั้นผลคูณของทุกแถวรวมกันจึงเป็น $x^n= (n^2)!$ แต่จากที่พิสูจน์ข้างบน เรารู้ว่า $(n^2)!$ ไม่เป็น perfect $n^{\text{th}}$ power เมื่อ $n\ge2$ เราจึงสรุปได้ว่าไม่มีจัตุรัสเช่นนั้นอยู่จริง

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
ส่วนsource ของปัญหานี้ ผมไม่รู้จริงๆครับว่า original มาจากไหน แต่ที่ได้มานั้น เป็นปัญหาข้อ 44ที่ Prof. Yang Wang รวบรวมมาจากหลายๆที่ครับ

อ๋อ เห็นแล้วครับ เป็น Problem 44 นั่นเอง เท่าที่ดูโจทย์ในนั้นมีแต่ยากๆทั้งนั้นเลย

สำหรับข้อนี้ผมก็ลองทำเป็นสิบวิธีน่ะครับ กว่าจะทำได้ พยายามมองหาทฤษฎีง่ายๆที่บอกถึง density, distribution หรือ gap ของจำนวนเฉพาะ ใช้คอมพ์เพื่อมองหา pattern จนสุดท้ายมาออกที่ 2-adic valuation นี่แหละครับ

ข้อความเดิมของคุณ TOP:
ไม่เกี่ยวกับโจทย์นะครับ แค่สงสัยว่า เวลากล่าวถึง xxx theorem มันไม่จำเป็นต้องหมายถึง theorem อันเดียวกันใช่ไหมครับ

เพราะผมเคยได้ยิน Tchebyshev theorem มาก่อนในเรื่องของพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ (เรื่องอื่นผมก็เคยได้ยิน แต่ไม่แน่ใจว่าเรียกสั้นๆว่า Tchebyshev theorem หรือไม่)

หรือว่ามันมีการยกเว้นหาก xxx เป็นชื่อบุคคล ก็จะกล่าวสั้นๆว่าเป็น xxx theorem ส่วนจะเป็น theorem อันไหนของนาย xxx ก็เป็นที่รู้กันว่ากำลังคุยเรื่องอะไรกันอยู่

ก็น่าจะเป็นอย่างที่คุณ TOP ว่าตอนท้ายมั้งครับ

Chebyshev Theorem อันนี้บางทีก็เรียกว่า Bertrand's postulate ครับ เพราะว่าเคยเป็น conjecture ของ Bertrand มาก่อน มีเรื่องน่าสนใจอยู่อันนึง (หวังว่าคงมีคนสนใจบ้างล่ะน้า ) คือเมื่อ Erdos อายุ 18 ปี เขาได้แสดงความเป็นอัจฉริยะออกมาโดยการพิสูจน์ Bertrand's postulate ด้วยตนเอง ทำให้ Nathan J. Fine แต่งกลอนต่อไปนี้ขึ้นมาครับ

Chebychev said it, and I'll say it again,
There's always a prime between N and 2N.