เราจะพิสูจน์เอกลักษณ์ต่อไปนี้ $$C_n=\frac{1}{2n+1}{{2n+1}\choose{n}}=\frac{1}{n+1}{{2n}\choose{n}}$$
เอกลักษณ์นี้เป็นจริงเนื่องจาก $${{2n+1}\choose{n}}
=\frac{(2n+1)\cdot 2n\cdots (n+2)}{n!}=\frac{2n+1}{n+1}\cdot\frac{2n!}{(n!)^2}
=\frac{2n+1}{n+1}{{2n}\choose{n}}$$ ซึ่งสิ่งที่ต้องการพิสูจน์ตามมาจากความจริงที่ว่า (n+1,2n+1)=1 ###
(Edited: Danke sehr nong Nithi ^_^)
หมายเหตุ: $C_n$ เป็น
nth catalan numbers หากต้องการอ่านเพิ่มเติมสามารถอ่านได้จากลิงค์ด้านล่างครับ
central binomial coefficients
Catalan number from mathworld
Central Binomial Coefficient identities