[Keehlzver]

ในที่สุดก็ออกซะที ขอโจทย์อีกนะครับ

ข้อ $11$ $(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2+(c+\frac{1}{c})^2\geq\frac{100}{3}$

Solution1

จาก $a+b+c=1$ โดยอสมการ Holder จะได้ว่า $\sum(a+\frac{1}{a})^2\geq\frac{(\sum(a+\frac{1}{a}))^3}{3\sum(a+\frac{1}{a})}=\frac{(\sum a+\sum \frac{1}{a})^2}{3}\geq\frac{(a+b+c+\frac{9}{a+b+c})^2}{3}=\frac{100}{3}$

Solution2

เมื่อ $a+b+c=1$ กระจายออกมาจะได้ว่า $\sum a^2+\sum\frac{1}{a^2}+6\geq\frac{(a+b+c)^2}{3}+\frac{27}{(a+b+c)^2}+6=\frac{100}{3}$

ข้อ $12$ $(abc+1)^3\leq(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)$

Solution

โดยอสมการ Holder $(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)\geq (\sqrt[3]{a^3b^3c^3}+\sqrt[3]{1})=(abc+1)^3$

ข้อ $13$ จงหาค่าสูงสุดของ $\frac{abc}{(a+b+c)(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)}$

Solution

โดยอสมการ Holder $(a+b+c)(b+a+1)(c+1+b)(1+c+a)\geq(\sqrt[4]{abc}+\sqrt[4]{bac}+\sqrt[4]{cba})=(3\sqrt[4]{abc})^4=81abc$ ดังนั้น $\frac{abc}{(a+b+c)(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)}\leq\frac{1}{81}$ เกิดค่าสูงสุดเมื่อ $a=b=c=1$

ข้อ $14$ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$

Solution

โดยอสมการ Holder $(\sum\frac{a}{b+c})\geq\frac{(a+b+c)^3}{(a+b+c)(a(b+c)+b(c+a)+c(a+b))}=\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq\frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab +bc+ca)}=\frac{3}{2}$

ข้อ $15$ $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})$

Solution

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})\geq\frac{(a+b+c)^3}{abc+bca+cab}=\frac{(a+b+c)(a+b+c )^2}{3abc}\geq\frac{(a+b+c)3(ab+bc+ca)}{abc}=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

ขอเรียกว่าพี่ก็เเล้วกันนะครับ ผมขอถามว่าในการทำโจทย์อสมกาีรสิ่งที่ต้องทำทุกครั้งคืออะไรครับ เพราะผมเห็นพี่ Nooonuii ทำโจทย์ของ Hojoo Lee กวาดไปหมดเลย ผมยังทำได้เเค่บางข้อ เเล้วเทคนิกที่พี่ใช้เเต่ละอย่างในการทำโจทย์เเต่ละข้อผมเห็นพี่พิจารณาวิธีพิสูจน์ได้สั้นเเละกระชับ ตรงประเด็นมาก เหมือนรู้ว่าข้อนั้นๆทำเเบบไหนถึงจะเหมาะ อีกอย่างคือโจทย์อสมการที่มีเงื่อนไขเช่น $a,b,c>-1$ หรือ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง ผมก็ไม่รู้จะเริ่มตรงไหนดี พอจะมีอะไรเเนะนำไหมครับ