อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Little Penguin
ข้อคุณ -InnoXenT- เราให้ $u=\sqrt{\cot{x}}$ จะได้อินทิกรัลเป็น
$\displaystyle\int\sqrt{\cot{x}}\,dx=-\int\frac{2u^2}{u^4+1}\,du$
สังเกตว่า $\displaystyle \frac{2u^2}{u^4+1}=\frac{\sqrt{2}}{2} \left(\frac{u}{u^2-\sqrt{2}u+1} -\frac{u}{u^2+\sqrt{2}u+1}\right)$
ซึ่ง $\displaystyle \frac{u}{u^2-\sqrt{2}u+1} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2u-\sqrt{2}}{u^2-\sqrt{2}u+1} +\frac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}u-1\right)^2+1}$
และ $\displaystyle \frac{u}{u^2+\sqrt{2}u+1} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2u+\sqrt{2}}{u^2+\sqrt{2}u+1} -\frac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}u+1\right)^2+1}$
ดังนั้น $\displaystyle -\int\frac{2u^2}{u^4+1}\,du =-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\int\frac{1}{2}\cdot\frac{2u-\sqrt{2}}{u^2-\sqrt{2}u+1}\,du +\int\frac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}u-1\right)^2+1}\,du -\int\frac{1}{2}\cdot\frac{2u+\sqrt{2}}{u^2+\sqrt{2}u+1}\,du +\int\frac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}u+1\right)^2+1}\,du\right)$
$\displaystyle =-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{1}{2}\ln\left|u^2-\sqrt{2}u+1\right| +\tan^{-1}\left(\sqrt{2}u-1\right) -\frac{1}{2}\ln\left|u^2 +\sqrt{2}u+1\right|+\tan^{-1}\left(\sqrt{2}u+1\right)\right)$
$\therefore\displaystyle\int\sqrt{\cot{x}}\,dx =-\frac{1}{2\sqrt{2}}\left( \ln\left|\cot{x}-\sqrt{2\cot{x}}+1\right| -\ln\left|\cot{x} +\sqrt{2\cot{x}}+1\right|+2\tan^{-1}\left(\sqrt{2\cot{x}}-1\right) +2\tan^{-1}\left(\sqrt{2\cot{x}}+1\right)\right)$ $\square$
|
ถ้าได้ว่า $\displaystyle\int\sqrt{\cot{x}}\,dx=-\int\frac{2u^2}{u^4+1}\,du$ จะได้ว่ามีค่าเป็น $ -\int\frac{1}{u^4+1}\,du^4$ ซึ่งน่าจะไปต่อง่ายกว่าครับ
ปล. ช่วงนี้รู้สึกจะเข้าช่วง Calculus fever นะครับ
เดี๋ยวสอบเสร็จมาเล่นด้วยครับ
