ข้อแรกวันที่ 2
สมมุติว่ามี $x \in \mathbf{N}$ ซึ่งทำให้ทุก $ y \in {2,5,13}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
$\therefore$ จะมี $a,b,c\in \mathbf{Z}$ ซึ่ง
$2X-1 =a^2$ ------(1)
$5X-1 =b^2$ ------(2)
$13X-1 =c^2$ ------(3)
พิจารณา $2X-1 =a^2$ ดังนั้น aเป็นจำวนคี่
$\therefore$ a=2k+1
$\therefore$ $2x-1=(2k+1)^2$
จะได้ x=2k(k+1)+1 นั่นคือ $x\equiv 1(mod 4)$ และ xเป็นจำนวนคี่
เมื่อพิจารณา (2)และ(3) จะได้ว่า b,c ต้องเป็นคู่ด้วย
$b=2t$ และ $c=2s$
(3)-(2) $c^2-b^2 =8x$
$4t^2-4s^2=8x$
$t^2-s^2=2x\equiv 2(mod4)$ เพราะ$ x\equiv 1(mod 4)$
ซึึ่งเกิดข้อขัดแข้งเพราะ $t^2-s^2\equiv 0,1(mod4)$ เท่านั้น
|