[zzz123]

$f(x-t,y)+f(x+t,y)+f(x,y-t)+f(x,y+t)=2,010,t\not= 0 ----$*
แทน $x$ ด้วย $x+t$ ใน $*$
ได้ $f(x,y)+f(x+2t,y)+f(x+t,y-t)+f(x+t,y+t)=2,010 -----(1)$
แทน $x$ ด้วย $x-t$ ใน *
ได้ $f(x-2t,y)+f(x,y)+f(x-t,y-t)+f(x-t,y+t)=2,010 -----(2)$
แทน $y$ ด้วย $y+t$ ใน *
ได้ $f(x-t,y+t)+f(x+t,y+t)+f(x,y)+f(x,y+2t)=2,010 ----(3)$
แทน $y$ ด้วย $y-t$ ใน *
ได้ $f(x-t,y-t)+f(x+t,y-t)+f(x,y-2t),f(x,y)=2,010 ------(4)$
แต่ $(1)+(2)=(3)+(4)$ จะได้ว่า
$f(x+2t,y)+f(x-2t,y)=f(x,y+2t)+f(x,y-2t)------(5)$
แทน $ t\not= 0$ ด้วย $2t$ ใน *
$f(x-2t,y)+f(x+2t,y)+f(x,y-2t)+f(x,y+2t)=2,010 ----(6)$
ได้ $f(x+2t,y)+f(x-2t,y)=1,005-----(7)$ และ
$f(x,y+2t)+f(x,y-2t)=1,005-------(8)$
แทน $x=y=0$ ใน $(8)$
ได้ $f(0,2t)+f(0,-2t)=1,005$
แทน $2t\not=0$ ด้วย $t$ ใน สมการข้างบนจะได้
สำหรับทุกจำนวนจริง $t\not=0$ จะได้ว่า $f(0,t)+f(0,-t)=1,005----(9)$
แทน $x=0,y=2t$ ใน $(8)$
ได้ $f(0,4t)+f(0,0)=1,005$ แทน $4t\not=0$ ด้วย $-t$ ลงใน $(8)$
สำหรับทุกจำนวนจริง $t\not=0$ จะได้ว่า $f(0,-t)+f(0,0)=1,005----(10)$
จาก $(9),(10)$ จะได้ว่าสำหรับทุกจำนวนจริง $t\not=0$
$f(0,t)=f(0,0)---(11)$ และในทำนองเดียวกันทำแบบเดียวกันกับสมการ$(7)$จะได้ว่าสำหรับ
ทุกจำนวนจริง $t\not=0$
$f(t,0)=f(0,0)---(12)$
ต่อไปจะแสดงว่าสำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ $f(x,y)=f(0,0)$
โดยแบ่งกรณีดังนี้
1.$x=0,y=0$
เห็นชัดเจน
2.$x=0,y\not=0$
จาก $(11)$ จะได้ว่า $f(0,y)=f(0,0)=f(x,y)$
3.$x\not=0,y=0$
จาก $(12)$ จะได้ว่า $f(x,0)=f(0,0)=f(x,y)$
4.$x\not=0,y\not=0$
จาก $(7),(8)$ แทน $2t\not=0$ ด้วย $t$
จะได้ว่า $f(x+t,y)+f(x-t,y)=1,005-----(13)$
$f(x,y+t)+f(x,y-t)=1,005-----(14)$
แทน $(x,y,t)$ ด้วย $(x,2y,x)$ ใน (13)
ได้ $f(2x,2y)+f(0,2y)=1,005----(15)$
จาก (10) ได้ว่า $f(0,t)+f(0,0)=0$
แทน $2y\not=0$ ด้วย $t$ ใน $(10)$
ได้ว่า $f(0,2y)+f(0,0)=1005----(16)$
จาก $(15),(16)$ จะได้ว่า $f(x,y)=f(0,0)$
จึงสรุปได้ว่าฟังก์ชันทั้งหมดที่สอดคล้องคือฟังก์ชันค่าคงตัว $f(x,y)=\frac{1005}{2}$
ปล1.มีผิดพลาดบอกด้วยนะครับ
ปล2.ปีนี้ไม่แจก Shortlisted ในพิธีปิดแบบปีก่อน อดโจทย์สวยๆเลย - -