ข้อ 5 วันที่ 2 โจทย์สวยดีครับ
ถ้าลองเปลี่ยนมุมมองจากโจทย์ FE มาเป็น โจทย์เรขาคณิต ผสมพีชคณิต จะง่ายกว่าเดิมเยอะเลย
จริงๆ เงื่อนไขฟังก์ชัน ก็เหมือนเรา label จำนวนจริงให้จุดทุกจุดบนระนาบ XY โดย มีข้อแม้ว่า ผลบวกค่าที่ทุกจุดมุมของสี่เหลี่ยมรูปข้าวหลามตัดใดๆ ต้องเป็น 2010
ลองดูรูปข้างล่างประกอบครับ
รวมค่าตัวเลขของจุดมุมของข้าวหลามตัด 5 รูป (4 รูปเล็กกับ 1 รูปใหญ่) จะได้สมการ
2(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+2e = (5)(2010)
(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+e = (5)(1005)
(a+b+d+e)+(e+f+h+i) +(c+g) = 5025
ดังนั้น c+g = 1005
ซึ่งส่งผลให้ a+i = 1005
เท่ากับว่า ตอนนี้ ผลบวกมุมตรงข้ามของข้าวหลามตัดใหญ่ เป็น 1005
จากนั้นถ้าเราแบ่ง cbef ,edgh เป็น 4 รูปย่อย เหมือนรูปใหญ่ ก็จะได้ c+e =1005 และ e+g =1005
ดังนั้น g= e= c
ในทำนองเดียวกัน จาก a+i =1005 ก็จะได้ a= i = e
สรุปว่า a= i=c=g = 502.5
แต่รูปนี้ สร้างตรงไหนบนระนาบ XY ก็ให้จุดมุมเป็น 502.5 เสมอ ดังนั้น จุดทุกจุดถูก label ด้วยค่าคงที่ 502.5
---------------------------------------------------------------------------
ข้อ 4 วันที่ 2 ตรงช่วงแรกที่พิสูจน์ว่าเป็นสามเหลี่ยม ไม่ยากครับ ขอพิสูจน์แค่เฉพาะอสมการส่วนสูงแล้วกัน
แนวคิดคร่าวๆ คือ จาก law of cosine : $ b_3^2+c_3^2 -2b_3c_3 \cos A_3 =a_3^2$
สุดท้าย จัดรูปแล้วจะได้ $ b_3c_3 \cos A_3 = b_2c_2 \cos A_2+ b_1c_1 \cos A_1 $
พอยกกำลังสองทั้ง 2 ข้าง แล้วจัดรูปอีกครั้ง จะได้
$(b_1c_2\cos A_1 - b_2c_1\cos A_2)^2 +(b_1c_2 \sin A_1)^2 +(b_2c_1 \sin A_2)^2 = 4(\Delta_3^2 -\Delta_1^2-\Delta_2^2 ) $
ดังนั้น $ (b_1c_2 \sin A_1)^2 +(b_2c_1 \sin A_2)^2 \leq 4(\Delta_3^2 -\Delta_1^2-\Delta_2^2 )$
ซึ่งสมมูลกับ $$ \frac{\Delta_3^2}{c_3^2} \,\, \geq \,\, \frac{\Delta_1^2}{c_1^2} \,+\,\frac{\Delta_2^2}{c_2^2} \Rightarrow r_3^2 \,\,\geq \,\, r_1^2+ r_2^2 $$
Note :สัญลักษณ์ $ \Delta $ หมายถึงพื้นที่สามเหลี่ยมครับ
----------------------------------------------------------------------
p.s. อยากได้วิธีข้อ 8 วันแรก ครับ