[Keehlzver]

ขอบคุณที่อุตสาห์เอามาลงเพิ่มนะครับ อย่าหายกันไปไหนละครับ
บท AM-GM

5. (APMC 1971) ให้ $\;n \in N, n \geqslant 2\;$ เเละ $\;a, x_1,...,x_n \in R^+\;$ จงพิสูจน์ว่า
$\qquad \frac{a^{x_1-x_2}}{x_1+x_2} + \frac{a^{x_2-x_3}}{x_2+x_3} + ... + \frac{a^{x_n-x_1}}{x_n+x_1} \geqslant \frac{n^2}{2(x_1+...+x_n)}$ เเละหาเงื่อนไขที่ทำให้เป็นสมการ

Solution

โดย AM-GM
$\frac{a^{x_1-x_2}}{x_1+x_2}+\cdots\frac{a^{x_n-x_1}}{x_n+x_1}\geq\frac{n}{\sqrt[n]{(x_1+x_2)(x_2+x_3)\cdots(x_n+x_1)}}$ เเละ $2(x_1+x_2+\cdots+x_n)=(x_1+x_2)+(x_2+x_3)+\cdots+(x_n+x_1)\geq n\sqrt[n]{(x_1+x_2)(x_2+x_3)\cdots(x_n+x_1)}$ นำอสมการทั้งสองมาคูณกัน จะได้อสมการที่โจทย์ต้องการ สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x_i$ เท่ากันทุกค่า $i$

6. ให้ $\;a_1,...,a_n,b_1,...,b_n,c_1,...c_n$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า $\qquad \left(\,\sum_{i = 1}^{n} a_ib_ic_i \right)^3 \leqslant \left(\,\sum_{i = 1}^{n} a_i^3 \right)^3\left(\,\sum_{i = 1}^{n} b_i^3 \right)^3\left(\,\sum_{i = 1}^{n} c_i^3 \right)^3$

Solution

โดยอสมการ AM-GM

$\frac{a_1^3}{a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3}+\frac{b_1^3}{b_1^3+b_2^3+\cdots+b_n^3}+\frac{c_1^3}{c_1^3+c_2^3+\cdots+c_n^3}\geq\frac{3 a_1b_1c_1}{\sqrt[3]{(a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3)(b_1^3+b_2^3+\cdots+b_n^3)(c_1^3+c_2^3+\cdots+c_n^3)}}$

$\frac{a_2^3}{a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3}+\frac{b_2^3}{b_1^3+b_2^3+\cdots+b_n^3}+\frac{c_2^3}{c_1^3+c_2^3+\cdots+c_n^3}\geq\frac{3 a_2b_2c_2}{\sqrt[3]{(a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3)(b_1^3+b_2^3+\cdots+b_n^3)(c_1^3+c_2^3+\cdots+c_n^3)}}$
$\vdots$
$\frac{a_n^3}{a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3}+\frac{b_n^3}{b_1^3+b_2^3+\cdots+b_n^3}+\frac{c_n^3}{c_1^3+c_2^3+\cdots+c_n^3}\geq\frac{3 a_nb_nc_n}{\sqrt[3]{(a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3)(b_1^3+b_2^3+\cdots+b_n^3)(c_1^3+c_2^3+\cdots+c_n^3)}}$

นำอสมการทั้งหมดมาบวกกันเเล้วยกกำลัง 9 จะได้ผลตามต้องการ

7. ให้ $\;a,b,c \in R^+$ จงพิสูจน์ว่า $\;2\sqrt{ab+bc+ca} \leqslant \sqrt{3}\; \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Solution

อสมการสมมูลกับ $\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{2}}\leq\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{3}}$จากอสมการ AM-GM เราได้ว่า $(a+b)(b+c)(c+a)\geq8abc$ บวกด้วย $8(a+b)(b+c)(c+a)$ ทั้งสองข้าง จากเอกลักษณ์ $(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)$ เราจะได้อสมการมา Bound คือ $9(a+b)(b+c)(c+a)\geq8(a+b+c)(ab+bc+ca)$ หรือ $(a+b)(b+c)(c+a)\geq\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$อสมการโจทย์ข้างซ้าย

$\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{3}}\geq\sqrt[3]{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}}\geq\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}$ อสมการสุดท้ายสมมูลกับ $(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)$ ซึ่งเป็นจริงโดย AM-GM

บท Weight AM-GM

1.(British MO) ให้ $\;p,q,r \in R_0\;$ มีสมบัติว่า $p+q+r=1$ จงพิสูจน์ว่า $7(pq+qr+rp) \leqslant 2+9pqr$

Solution

Homogenize ได้อสมการ $7(p+q+r)(pq+qr+rp)\leq 2(p+q+r)^3+9pqr$ ใช้เอกลักษณ์ $(p+q+r)^3=p^3+q^3+r^3+3(p+q)(q+r)(r+p)$ เเละ $(p+q+r)(pq+qr+rp)=(p+q)(q+r)(r+p)+pqr$ จะได้อสมการลดรูปลงไปเป็น $2(p^3+q^3+r^3)+2pqr\geq p^3q+q^3r+r^3p+pq^3+qr^3+rp^3+2pqr$ ซึ่งเป็นจริงโดยอสมการ Holder $p^3+q^3+r^3\geq p^2q+q^2r+r^2p$ เเละ $p^3+q^3+r^3\geq pq^2+qr^2+rp^2$

บท Cauchy-Schwarz ไว้จะมาลงให้ทีหลังนะครับ ทั้งร้อนทั้งง่วง ขอตัวไปนอนก่อนละครับ