[Switchgear]

ข้อ 5 ของวันแรก

นักกีฬาแต่ละคนต้องแข่งทั้งหมด $2009$ ครั้ง ดังนั้น $\;b_i \; = \;2009 - a_i $

เนื่องจากทุกคู่ที่แข่งต้องเกิดการแพ้หรือชนะเสมอ ดังนั้น $\;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {b_i } \; = \;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i } $

จากสมการ $\;b_i \; = \;2009 - a_i $ จะได้ว่า $\;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {b_i } \; = \;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {2009} - \sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i } \;$ หรือ $\;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i } + \sum\limits_{i = 1}^{2010} {b_i } \; = \;2009 \times 2010$

เมื่อแทนค่า $\;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {b_i } \; = \;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i } $ จะได้ว่า $\;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i } \; = \;\displaystyle{{{2009 \times 2010} \over 2}}$

จากสมการ $\;b_i \; = \;2009 - a_i $ เมื่อยกกำลังสองจะได้ $\;b_i^2 \; = \;2009^2 - 2 \times 2009 \times a_i + a_i^2 $

หรือ $\;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {b_i^2 } \; = \;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {2009^2 } - 2 \times 2009\sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i } + \sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i^2 } \quad$ แต่เนื่องจาก $\;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i } \; = \;\displaystyle{{{2009 \times 2010} \over 2}}$

เมื่อแทนค่าจะได้ $\;\;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {b_i^2 } \; = \;2009^2 \times 2010 - 2 \times 2009 \times \displaystyle{{{2009 \times 2010} \over 2}} + \sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i^2 } \; = \;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i^2 } $

เพราะฉะนั้นแสดงว่า $\;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {a_i^2 } \; = \;\sum\limits_{i = 1}^{2010} {b_i^2 } \;$ ตามที่โจทย์ต้องการ