[Switchgear]

ข้อ 6 ของวันแรก

แทน $x = y = 0$ จะได้ $f(0) + f(0) = f(0) + f(0) + 16f(0)$ นั่นคือ $f(0) = 0$
แทน $x = m, y = 0$ จะได้ $f(3m) + f(3m) = f(m) + f(m) + 16f(m)$ นั่นคือ $f(3m) = 9f(m)$
แทน $x = y = m$ จะได้ $f(4m) + f(2m) = f(2m) + f(0) + 16f(m)$ นั่นคือ $f(4m) = 16f(m)$

จากข้อมูลข้างต้นคาดว่า $f(cx)\; = \;c^2 x \;$ น่าจะเป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันตามโจทย์

แทน $y\; = \;{y \over x} \cdot x\;$ จะได้ $\;f\left( {\left\{ {3 + {y \over x}} \right\} \cdot x} \right) + f\left( {\left\{ {3 - {y \over x}} \right\} \cdot x} \right)\; = \;f\left( {\left\{ {1 + {y \over x}} \right\} \cdot x} \right) + f\left( {\left\{ {1 - {y \over x}} \right\} \cdot x} \right) + 16f\left( x \right)$

เมื่อให้ $f(cx)\; = \;c^2 x \;$ จะได้ $\;\left( {3 + {y \over x}} \right)^2 x + \left( {3 - {y \over x}} \right)^2 x\; = \;\left( {1 + {y \over x}} \right)^2 x + \left( {1 - {y \over x}} \right)^2 x + 16x\;$ ซึ่งสมการเป็นจริงเสมอ
แสดงว่า $f(cx)\; = \;c^2 x \;$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันตามโจทย์

เพราะฉะนั้นจึงได้ $\;f( - x)\; = \;( - 1)^2 x\; = \;x\; = \;( + 1)^2 x\; = \;f( + x) \;$ ตามที่ต้องการ