มาอธิบายเพิ่มเติมต่อตามที่สัญญาไว้ครับ
ปรากฎการณ์แบบที่เห็นในข้อนี้ เค้าเรียกกันว่า "covering congruences" ครับ จำนวนที่อยู่ในรูป $2^n-777149$ จะมีตัวประกอบเป็นหนึ่งในสมาชิกของ "covering set" $\{ 3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 \}$ เสมอ ดังนั้นมันจึงไม่มีโอกาสเป็นจำนวนเฉพาะเลย
ตัวอย่างอื่นๆก็เช่น จำนวนที่อยู่ในรูป $78557\cdot2^n+1$ หรือ $509203\cdot2^n-1$ ก็จะเป็นจำนวนประกอบเสมอเช่นกัน
เราเรียกจำนวนคี่บวก $k$ ที่ทำให้ $k \cdot 2^n +1$ เป็นจำนวนประกอบเสมอ ว่า Sierpinski number เพราะ Sierpinski ได้ค้นพบเป็นคนแรกในปี 1960 ตัวอย่างของ Sierpinski number ได้แก่ 78557, 271129, 271577, 322523, 327739
เราเรียกจำนวนคี่บวก $k$ ที่ทำให้ $k \cdot 2^n -1$ เป็นจำนวนประกอบเสมอ ว่า Riesel number เนื่องจาก Riesel ได้ค้นพบเป็นคนแรกในปี 1956 ตัวอย่างของ Riesel number ก็เช่น 509203, 762701, 777149, 790841, 992077
เป็นที่น่าสังเกตว่า ถึงแม้ปรากฎการณ์แบบนี้จะไม่ต้องใช้คณิตศาสตร์ชั้นสูงมาอธิบาย แต่เราก็เพิ่งค้นพบมันเมื่อไม่นานมานี้เอง ผมคิดว่าน่าจะเป็นเพราะไม่มีใครคาดคิดมาก่อนว่าจะมีค่า $k$ เช่นนั้นอยู่ เนื่องจากโดยสามัญสำนึกมันชวนให้เราคิดว่า ไม่ว่า $k$ จะเป็นจำนวนใด ก็น่าจะมีค่า $n$ ที่ทำให้ $k \cdot 2^n +1$ หรือ $k \cdot 2^n -1$ เป็นจำนวนเฉพาะได้เสมอ แม้ว่าอาจจะต้องหากันไปไกลสักหน่อยก็เถอะ
|