ข้อ 6 วันที่ 2
Lemma $n\nmid r^{n-1}+1$ เมื่อ r เป็นจำนวนเฉพาะ
พิสูจน์ lemma
สมมุติว่ามี n ซึ่ง$n\mid r^{n-1}+1$
เขียน $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$
เขียน ${p_i}-1=2^{m_i}q_i $ เมื่อ $q_i $เป็นจำนวนคี่
เลือก $p_i$ ที่ทำให้ $m_i=min ({m_1,m_2,...,m_k})$
ดังนั้น $n\equiv 1 (mod 2^{m_i}) (\because m_i คือmin)$
$\therefore n-1=2^{m_i}t$
$r^{2^{m_i}t}\equiv -1 (mod p_i )$
จาก $q_i$ เป็นคี่
ทำให้$ r^{(2^{m_i}q_i)t}\equiv -1 (mod p_i )$
$ r^{(p_i-1)t}\equiv -1 (mod p_i )$
จากแฟรมาจะได้ว่า $1\equiv -1 (mod p_i )$ เกิดข้อขัดแย้งเพราะ $p_i \not= 2$
ดังนั้น $n\nmid r^{n-1}+1$
กลับมาที่โจทย์
จากโจทย์ กำหนดว่า $pq\mid r^{p}+r^{q}$
ดังนั้น $p\mid r^{p}+r^{q}$
$r^q\equiv -r^p (mod p)$
$\therefore r^q\equiv -r (mod p)(\because จากแฟรมา)$
$ r^{pq}\equiv -r^p (mod p) (ยกกำลัง p และจาก p เป็นจำนวนคี่ )$
$ \therefore r^{pq}\equiv -r (mod p)$
ทำให้ $p\mid r^{pq}+r$
แต่ p เป็นจำนวนเฉพาะ และ p>r
$\therefore p\mid r^{pq-1}+1$
ทำนองเดียวกันจะได้ $q\mid r^{pq-1}+1$
จาก $(p,q)=1$
$\therefore pq\mid r^{pq-1}+1$
ซึ่งจาก Lemma จะได้ว่าไม่มี p q ที่สอดคล้อง
$\therefore ไม่มี p, q, r ที่สอดคล้องกับโจทย์$
|