อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear
ข้อ 6 ของวันแรก
แทน $x = y = 0$ จะได้ $f(0) + f(0) = f(0) + f(0) + 16f(0)$ นั่นคือ $f(0) = 0$
แทน $x = m, y = 0$ จะได้ $f(3m) + f(3m) = f(m) + f(m) + 16f(m)$ นั่นคือ $f(3m) = 9f(m)$
แทน $x = y = m$ จะได้ $f(4m) + f(2m) = f(2m) + f(0) + 16f(m)$ นั่นคือ $f(4m) = 16f(m)$
จากข้อมูลข้างต้นคาดว่า $f(cx)\; = \;c^2 x \;$ น่าจะเป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันตามโจทย์
แทน $y\; = \;{y \over x} \cdot x\;$ จะได้ $\;f\left( {\left\{ {3 + {y \over x}} \right\} \cdot x} \right) + f\left( {\left\{ {3 - {y \over x}} \right\} \cdot x} \right)\; = \;f\left( {\left\{ {1 + {y \over x}} \right\} \cdot x} \right) + f\left( {\left\{ {1 - {y \over x}} \right\} \cdot x} \right) + 16f\left( x \right)$
เมื่อให้ $f(cx)\; = \;c^2 x \;$ จะได้ $\;\left( {3 + {y \over x}} \right)^2 x + \left( {3 - {y \over x}} \right)^2 x\; = \;\left( {1 + {y \over x}} \right)^2 x + \left( {1 - {y \over x}} \right)^2 x + 16x\;$ ซึ่งสมการเป็นจริงเสมอ
แสดงว่า $f(cx)\; = \;c^2 x \;$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันตามโจทย์
เพราะฉะนั้นจึงได้ $\;f( - x)\; = \;( - 1)^2 x\; = \;x\; = \;( + 1)^2 x\; = \;f( + x) \;$ ตามที่ต้องการ
|
พอดี เพิ่งได้อ่านแบบละเอียดๆ เลยรู้สึกว่าบรรทัดที่ mark สีแดงไว้ มันแปลกๆนะครับ เพราะเอาสิ่งที่จะพิสูจน์มาแทนค่า
งั้นผมขอ แทรกเพิ่มบางส่วนให้นะครับ หวังว่าคงไม่ว่ากัน
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear
ข้อ 6 ของวันแรก
แทน $x = y = 0$ จะได้ $f(0) + f(0) = f(0) + f(0) + 16f(0)$ นั่นคือ $f(0) = 0 \dots(1)$
แทน $x = m, y = 0$ จะได้ $f(3m) + f(3m) = f(m) + f(m) + 16f(m)$ นั่นคือ $f(3m) = 9f(m) \dots(2)$
แทน $x = y = m$ จะได้ $f(4m) + f(2m) = f(2m) + f(0) + 16f(m)$ นั่นคือ $f(4m) = 16f(m) \dots(3) $
แทน $x$ ด้วย $x-y$ และ แทน $y$ ด้วย $ 3x-3y$ แล้ว simplify จะได้ $ f(6x) = f(4x)+f(-2x)+16f(x) $ ซึ่งจากสมการ (2),(3) สามารถ simplify ได้อีก เป็น $ 9f(2x) = 32f(x)+ f(-2x) \dots(4)$
แทน $x$ ด้วย $-x$ ใน สมการ (4) แล้วรวมกับสมการ (4) เดิม จะได้ $ 8 (f(2x) +f(-2x)) = 32 (f(x)+f(-x)) \dots(5)$
แทน $y= 5x$ ในสมการโจทย์ แล้วใช้สมการ (2),(3) จะได้ $ 7f(2x)+ f(-2x)= 16 (f(x)+f(-x)) \dots(6)$
พิจารณาสมการ (5),(6) จะได้ $ f(2x) = f(-2x) $ ซึ่ง ก็คือความหมายเดียวกับ $ f(x)= f(-x)$
|
ตอนนี้ก็เหลือ ข้อสุดท้ายของวันแรก ซึ่ง ผมให้ guide ไว้แล้วกันครับว่า ต้องพิสูจน์ $ \binom{100}{p} \equiv \left\lfloor\ \frac{100}{p} \right\rfloor \,\, (mod p) $ ซึ่งใช้ Wilson's theorem ประกอบกับหลักที่ว่า จำนวนเต็ม p จำนวนเรียงกัน มีเศษใน mod p ต่างกันหมด
ดังนั้น ก็จะเหลือแค่หา $ p | \left\lfloor\ \frac{100}{p} \right\rfloor +7$ ซึ่งลองแบ่งเป็นกรณี
$ \frac{100}{p} < p $ กับ $ \frac{100}{p} \geq p $ แล้วใช้ พีชคณิตจุกจิกนิดหน่อยก็จบครับ