ช่วยดูวิธีพิสูจน์ของผมหน่อยครับ ว่ามีปัญหาตรงการอ้างเหตุผลส่วนไหนรึเปล่า
ปัญหา กำหนดให้ \( a_1 = 1 \) และ ลำดับ \( a_n = \sqrt{a_{n-1} + \frac{3}{4}} \; ; n\geq 2 \)
จงแสดงว่าลำดับนี้ลู่เข้าและหาลิมิต
ก่อนอื่นแสดงว่าลำดับนี้ลู่เข้าโดยแสดงว่า \( a_n \) เป็นลำดับทางเดียว และมีขอบเขต
พิจารณา \( a_2 = \sqrt{ 1 + \frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2} < 2 \)
แสดงว่า \( a1<a2<2 \)
จึงสมมติให้ \( a_k < 2 \; \) จริง
พิจารณา \( a_{k+1} = \sqrt{a_{k} + \frac{3}{4}} < \sqrt{ 2 +\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2} < 2 \) ซึ่งจะได้ว่าเป็นลำดับมีขอบเขต
ต่อไปจะแสดงว่าเป็นลำดับทางเดียว จริง โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
จะเห็นว่า \( a_1 < a_2 \)
สมมติให้ \( a_{k} < a_{k+1} \) จริง
จะได้ว่า \( a_{k+1}= \sqrt{a_{k} + \frac{3}{4}} < \sqrt{a_{k+1} + \frac{3}{4}} = a_{k+2} \)
สรุปได้ว่า ลำดับนี้ลู่เข้า เนื่องจากเป็นลำดับทางเดียวและมีขอบเขต
ต่อไปจะหาลิมิตของลำดับนี้
โดยสมมติให้ \( a \; \) เป็นลิมิตของลำดับ และจะได้ว่า \( a = \lim a_n = \lim a_{n-1} \)
จะได้ว่า \( a = \sqrt{a+\frac{3}{4}} \)
แก้สมการได้ \( a=\frac{3}{2} \)