ตามความคิดของกระผมนะครับ น่าจะเป็นอย่างนี้ครับ
โดยไม่เสียนัยสำคัญ สมมติว่า $\alpha \leq \beta$
เนื่องจาก $(\alpha^n + \beta^n)^{1/n} > (\beta^n)^{1/n} = \beta$
และจากอสมการแบร์นูลลี่ $(\alpha^n + \beta^n)^{1/n} = \beta\left(\frac{\alpha^n}{\beta^n} + 1\right)^{1/n} < \beta\left(1 + \frac{(\alpha/\beta)^n}{n}\right)$
นั่นคือ $\beta < (\alpha^n + \beta^n)^{1/n} < \beta\left(1 + \frac{(\alpha/\beta)^n}{n}\right)$
เนื่องจาก $\frac{(\alpha/\beta)^n}{n} \rightarrow 0$ เมื่อ $n \rightarrow \infty$
ดังนั้นโดยทฤษฎีบทบีบอัด (Squeeze Theorem) $(\alpha^n + \beta^n)^{1/n} \rightarrow \beta$ เมื่อ $n \rightarrow \infty$
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า $(\alpha^n + \beta^n)^{1/n} \rightarrow \alpha$ เมื่อ $n \rightarrow \infty$ ถ้า $\alpha > \beta$
จึงสรุปได้ว่า $\lim_{n\to\infty}(\alpha^n + \beta^n)^{1/n} =$ max$\{\alpha, \beta\}$
