กระทู้นี้ จะเป็นวิทยาทานที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในรอบ 5 ปีที่ผมจะทำให้ webboard เลยก็ว่าได้ครับ
สิ่งที่ผมจะ post ในกระทู้นี้ หลังจากวันนี้ อาจจะไม่แตกต่างกับตอนที่ผมตั้งกระทู้
WARM-UP เพียงแต่จะครอบคลุมโจทย์ ม.ต้น ,ม.ปลาย, โอลิมปิก,อุดมศึกษา ที่ผมเลือกสรรมาแล้วและผมไม่เคย post ที่ไหนมาก่อน โดยพยายามให้มีทั้งยาก ปานกลาง และง่าย กระจายกันไป ซึ่งความตั้งใจในขั้นแรกของผม คือจะทยอย post ให้ได้อย่างน้อย
200-300 ข้อ ภายในปีนี้
บอกตรงๆว่า ผมไม่ค่อยซีเรียส ว่า สิ่งที่ผมทำจะสูญเปล่า หรือจะแป๊กหรือไม่ แต่ผมถือว่า ผมได้ทำกุศลแบบหนึ่ง แค่นี้ก็พอแล้ว
นอกจากจะมีโจทย์มหาศาลแล้ว ผมจะพยายาม post Hint และแนวทางข้อที่สำคัญๆ ประกอบให้เป็นระยะๆครับ แต่คงไม่เฉลยทุกข้อ ถ้าใครมีคำถามก็สามารถถามเจาะเป็นข้อๆได้ครับ
ส่วนใครที่รอคอยการแจกของฟรีทางไปรษณีย์ เหมือนที่ผมเคยทำเมื่อ 2-3 ปีก่อน ปีนี้กลับมาแน่นอนครับ แต่ตอนนี้ยังบอกไม่ได้ว่าเดือนไหน
------------------------------------------------------------------------------------
1. P(x) เป็นพหุนามดีกรี 2 โดย $ x^2-2x+2 \leq P(x) \leq 2x^2-4x+3 $ ทุกจำนวนจริง x โดย P(11) =181 หาค่า P(16) (Hint: กราฟพาราโบลา)
2. AB= 12 , BC= 13 ,CA =15 , M อยู่บน AC โดยวงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABM, BCM มีรัศมีเท่ากัน หาค่า $\,\, \frac{AM}{CM}$
3. จำนวนนับ a,b,c,d (a> b > c > d) และ $ a+b+c+d= 2010 = a^2-b^2+c^2-d^2 $
หาจำนวน a ทั้งหมดที่เป็นไปได้
4. a,b,c เป็นจำนวนจริง โดย
$ a^3-abc = 2\,\, , b^3-abc = 6 \,\, , c^3-abc = 20$
หาค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ $ a^3 + b^3+c^3 $
5. O เป็นจุดภายในสามเหลี่ยม ABC โดย AO= BO=15 , CO=7 โดย พื้นที่ สามเหลี่ยม ABC มีค่ามากสุด หาความยาวด้านสั้นสุดของสามเหลี่ยม
6. EF เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของครึ่งวงกลม ,A อยู่บน EF และ D,B,C อยู่บนครึ่งวงกลม โดย AD ตั้งฉากกับ EF และ AD,BE,CF แบ่งครึ่งมุม CAB,ABC, ACB ตามลำดับ พิสูจน์ว่า $ AD^2= AB \cdot AC$
7. $ 2^{29} $ เป็นเลข 9 หลักต่างกัน ถ้าไม่กดเครื่องคิดเลข หาว่าเลขโดดที่ไม่ปรากฏใน 9 หลักนี้คือเลขใด (Hint: Modulo)
8. ในบรรดา จำนวนด้านล่างนี้ มีจำนวนเต็มต่างกันกี่จำนวน
$ \left\lfloor \ \frac{1^2}{2010}\right\rfloor \,\, ,\left\lfloor \ \frac{2^2}{2010}\right\rfloor \,\, , \left\lfloor \ \frac{3^2}{2010}\right\rfloor \,\, \cdots\left\lfloor \ \frac{2010^2}{2010}\right\rfloor $
9. สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมุมฉากหน้าจั่วที่ AB=BC มี P เป็นจุดภายในโดย $ PA = 5 \,\, ,PB= 2\sqrt{2} \,\, , PC= 3 $ หาพื้นที่สามเหลี่ยม ABC (Hint: ขยายรูปและต่อให้เกิดสามเหลี่ยมมุมฉากอีกรูป)
10. $ u,v \neq 0$ และ $ u^2+uv+v^2= 0$ หาค่า $ (\frac{u}{u+v})^{2010} +(\frac{v}{u+v})^{2010} $
11. ตาราง 3x3 เขียนเลข 1-9 ไม่ซ้ำกันลงไป จะได้ 9! ตาราง แต่ละตารางหาค่าผลบวกสมาชิกแต่ละแถว และเก็บค่าน้อยสุด มากสุดของผลบวกแต่ละตารางไว้ จากนั้นนำค่าเหล่านี้ที่เก็บไว้ของทุกตารางบวกกัน จะได้ผลลัพธ์เท่าใด (Hint: Symmetry)
12. หาจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่ทำให้ $ x\,\, , \left\lfloor x\right\rfloor \,\, , x- \left\lfloor x\right\rfloor $ เป็นลำดับเรขาคณิต
13. หาเศษจากการหาร $ 1991^{2000}$ ด้วย 1 ล้าน
14. สี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 1 หน่วยและยาว $ \sqrt{2}$ หน่วย ถ้าหมุนรอบเส้นทแยงมุม 1 รอบจะได้รูปทรง 3 มิติที่มีปริมาตรเท่าใด
15. จำนวนจริง x,y,z หาค่าน้อยสุดของ $ 2x^2+2y^2+5z^2 -2xy-4yz -4x-2z+15$
16. A (x,y) ,B (a,b) เป็น 2 จุดในจตุภาคที่ 1 โดย B อยู่ทางตะวันออกเฉียงใต้ของ A ถ้ายิงลำแสงจาก A กระทบกระจกในแนวแกน Y โดยลำแสงสะท้อน มายังกระจกในแนวแกน X และสะท้อนกลับไปที่ B หาระยะทางที่แสงเคลื่อนที่ในเทอมของ a,b,x,y
17. 6 เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ABCDEF มี P เป็นจุดกึ่งกลาง AB ยิงลำแสงจาก P กระทบ BC ,CD,DE,EF ,FA และกลับมาที่บางจุดบน AB หาขนาด $ \tan (B\hat{P}Q)$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้
18. หาจำนวนเฉพาะ p,q และเลขคู่ n>2 ซึ่งสอดคล้องกับ $ p^n + p^{n-1} +\cdots +p+1 = q^2+q+1 $
19. (ข้อนี้ไม่ใช่โจทย์แคลคูลัสนะครับ) ให้ x เป็นจำนวนจริง หาค่ามากสุดของ $ \sqrt{x^4-3x^2-6x+13} - \sqrt{x^4-x^2+1}$
20. มีจำนวนนับ n ไม่เกิน 100 กี่จำนวน ที่ทำให้ $ 5 | 3^n-n^2 $