[passer-by]

47. หาจำนวนฟังก์ชันทั่วถึง $ f: \{ 1,2,3,..,100\} \rightarrow \{ 1,2,3,..,50\} $ โดย $ f(1) \leq f(2) \leq \cdots \leq f(100) $

48. พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับต่างกัน $ a_i \,\, (i =1,2,...,2009)$ ซึ่ง $ a_i | \sum_{i=1}^{2009} a_i \,\, ,\forall i $
แต่ไม่มีจำนวนนับต่างกัน $ b_i \,\, (i =1,2,...,2009)$ ซึ่ง $ (b_i +b_j) | \sum_{i=1}^{2009} b_i \,\, ,\forall i \neq j $

49. หาจำนวนเต็ม m,n (m,n>1) โดย $ mn-1 | n^3-1 $

50. ระบายสี ทุกด้านและเส้นทแยงมุมของรูป 12 เหลี่ยมด้วยสีที่มีอยู่ 12 สี เป็นไปได้หรือไม่ว่า ทุก 3 สีใดๆ จะมีสามเหลี่ยมที่เชื่อมด้วย 3 สีดังกล่าว

51. จำนวนนับ $ n \geq 2 $ และจำนวนนับ $ a_1 , a_2 ,\dots ,a_n$ ซึ่ง $ 0< a_k \leq k $ ทุก k = 1,2,...,n ถ้า $ a_1+a_2+\dots +a_n$ เป็นเลขคู่ พิสูจน์ว่า สามารถ partition $a_i$ ออกเป็น 2 กลุ่ม โดยมีผลบวกเท่ากันได้ (Hint : Induction)

52. หาจำนวนจริง x ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับ $ \left\lfloor x\right\rfloor + \left\lfloor 2x\right\rfloor + \cdots +\left\lfloor nx\right\rfloor = \frac{n(n+1)}{2} $

53. p(x) เป็นพหุนามที่มี สปส. เป็นจำนวนจริง โดย p(x)=x ไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง พิสูจน์ว่า p(p(x))=x ก็ไม่มีรากจำนวนจริง (Hint: พหุนามเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง)

54. หาจำนวนเฉพาะ p,q ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $ p^3 -q^5 = (p+q)^2 $

55. หาฟังก์ชัน $ f: R^+ \rightarrow R^+ $ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $ f(x^2)+f(y)= f(x^2+y+xf(2552y)) $ ทุกจำนวนจริงบวก x,y

56. พิสูจน์ว่าไม่มี $ f: R^+ \rightarrow R^+ $ ทีสอดคล้องกับ $ (x+y)f(yf(x)) = x^2f(f(x)+f(y))$ ทุกจำนวนจริงบวก x,y

57. หาฟังก์ชัน $ f: R \rightarrow R $ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $ (x+y)(f(x)-f(y)) = (x-y)f(x+y)$ ทุกจำนวนจริง x,y

58. t > -1 และ {a} คือ fractional part ของ a หรือพูดง่ายๆคือค่าหลังทศนิยมของ a จงหาค่า $$\int_0^{\,\,1}\int_0^{\,\,1} x^t y^t \left\{\frac{x}{y}\right\} \left\{\frac{y}{x}\right\} \,dx\,dy $$

59.กำหนดจำนวนนับ n จงหาค่า $$ \int_0^{\,\,\pi} \,\,\frac{2+2\cos x-\cos(n-1)x -2\cos nx -\cos (n+1)x}{1-\cos 2x} \,\, dx $$

60. กำหนดจำนวนจริง $ x_1 ,x_2 ,\dots ,x_n$ ถ้า $ x_1x_2\dots x_n -x_i $ เป็นเลขคี่ทุกจำนวนนับ i =1,2,..,n พิสูจน์ว่าทุก $x_i$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

61. a,b,c> 0 ,abc= ab+bc+ca พิสูจน์ $$ \sum_{cyc} \,\, \frac{1}{1+a^2+b^2} \leq \frac{3}{19} $$

62. หาจำนวนเต็ม x,y ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $ 6(x!+3) = y^2+5 $ (Hint: Modulo)