[passer-by]

ก่อนจะไปต่อ อยากให้เห็นสัญลักษณ์หรืออักษรบางอย่างก่อน เพราะหลายข้อที่เป็นเรขาคณิตต่อจากนี้ ถ้าไม่กำหนดเป็นอย่างอื่นให้ยึดตามนี้

O,I,H,G หมายถึง จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC , จุดศูนย์กลางวงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABC ,จุดตัดส่วนสูงของสามเหลี่ยม ABC และจุดตัดมัธยฐานของสามเหลี่ยม ABC

(ABC) หมายถึง วงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC ,[ABC] แทนพื้นที่สามเหลี่ยม ABC

r,R หมายถึง รัศมีวงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABC และ รัศมีวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC

a,b,c แทนความยาวด้านตรงข้ามมุม A,B,C ของสามเหลี่ยม ABC

$ h_a ,h_b ,h_c$ แทนความยาวส่วนสูงที่ลากจากมุม A,B,C
-------------------------------------------------------------

63. สามเหลี่ยม ABC มีมุม C กาง 60 องศา , BC=4 และ D เป็นจุดกึ่งกลาง BC หาค่ามากสุดของ $ \tan(B\hat{A}D)$

64. ถ้า a,b,c,d,e,f เป็นจำนวนเต็มต่างกัน หาค่าน้อยสุดของ $ (a-b)^2+(b-c)^2+ \dots +(e-f)^2+(f-a)^2 $

65. พิสูจน์ว่าทุกจำนวนนับ n จะต้องมีจำนวนนับ m ซึ่ง n หลักสุดท้ายของ $m^3$ เป็นเลข 8 ทั้งหมด

66.กำหนดสามเหลี่ยม ABC พิสูจน์ $$ \frac{R}{2r} \geq \bigg(\frac{64(abc)^2}{(4a^2-(b-c)^2)(4b^2-(c-a)^2)(4c^2-(a-b)^2)} \bigg)^2 $$

67. วงกลมผ่าน B,C ของสามเหลี่ยม ABC วงกลมตัด AB,AC ที่ D,E ตามลำดับ มัธยฐาน AF ตัด DE ที่ L พิสูจน์ $ \frac{LD}{LE} = \frac{AC^2}{AB^2} $

68. แก้ระบบสมการ $ \cos x + \cos y +\cos z = \frac{3\sqrt{3}}{2} \,\, ,\sin x + \sin y +\sin z = \frac{3}{2}$

69. สามเหลี่ยม ABC มีมุม C เท่ากับ 120 องศา โดยมี F เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้ง ACB พิสูจน์ HF=FO

70. เลขคี่บวกต่างกัน $ a_1,a_2,\dots, a_n$ โดย $ |a_i-a_j| $ ต่างกันหมดทุก $ i \neq j $ พิสูจน์ $$ \sum_{i=1} ^n a_i \geq \frac{n(n^2+2)}{3}$$

71. เขียนเลข 1 ถึง 400 ในตาราง 20x20 แต่ละช่องไม่ซ้ำกัน พิสูจน์ว่ามีบางแถวหรือบางคอลัมน์ ที่มี 2 จำนวนซึ่งมีผลต่างมากกว่าหรือเท่ากับ 209 (Hint: พิจารณา {1,2,..,91} กับ {300,301,...,400} )

72. พิสูจน์ $$ (\prod_{cyc} \,\,\frac{h_a}{h_b+h_c} )^{1/3} \leq \frac{1}{6}\bigg(\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \bigg)$$

73. ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง 128p+1 เป็นจำนวนประกอบ และ $ 128p+1 | 2^{64p}-1 $ พิสูจน์ว่า $ 128p+1 | 2^{64}-1 $

74. k,n เป็นจำนวนนับโดย $ k \leq n$ และ $a_i \geq 0 \,\, \forall i $ พิสูจน์ $$ a_1a_2\dots a_k+a_2a_3\dots a_{k+1} +\dots a_{n-k+1}a_{n-k+2}\dots a_n \leq \bigg(\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{k} \bigg)^k $$

75. n เป็นเลขคู่บวก พิสูจน์ $ n^2-1 | 2^{n!}-1$

76. สามเหลี่ยมมีส่วนสูง 10,12,15 หน่วย หาความยาวด้านทั้งสาม

77. $ f: R \times R \rightarrow Z $ โดย $ 5| f(A)+f(B)+f(C) $ ทุกสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC พิสูจน์ว่า $ 5 |f(P) $ ทุกจุด P ในระนาบ XY (Note: Z เป็นเซตของจำนวนเต็ม)

78. หา $ f: R\times R \rightarrow R $ ทั้งหมดโดย $ f(A)+f(B)+...+f(E) = 0 $ ทุกจุดมุมห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ABCDE

79. กำหนดจำนวนนับ n หาค่า $$ \int_0^{\infty} \,\, \frac{x^n}{e^x + \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}} \,\, dx $$ (Hint: เศษกับส่วน สัมพันธ์กันอย่างไร)

80. สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC พิสูจน์ $$ \frac{9(AG^2+BG^2+CG^2)}{AO^2+BO^2+CO^2} -\,\, \frac{AH \cdot BH \cdot CH}{AI \cdot BI \cdot CI} \leq 8 $$

81. วงกลมแนบในสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC สัมผัส BC ที่ D ในขณะที่ excircle (ตรงข้ามมุม B) สัมผัส BC ที่ E ถ้า AD=AE แล้วหาค่า $2\hat{C}-\hat{B}$

----------------------------------------------------------------------------------------------------
p.s. ผมจะค่อยๆทยอยเติม Hint ข้อที่พิมพ์ไปแล้วให้นะครับ