[passer-by]

ต่อให้ครบ 100 ไปเลยแล้วกัน!

82. หาค่า $$ \sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i \,\, \int_0^{\,\,1} \,\, \frac{16x^3(1+x^{8i})}{(1+x^4)^{2i+2}} \,\, dx $$

83. อนุกรม $ \sum_{n=1}^{\infty} \{ (\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n \}$ ลู่เข้าหรือลู่ออก (โดย {a} คือ ค่าหลังทศนิยมของ a)

84. กำหนด $ p_1=2$ และ $p_{n+1} $ เป็น prime divisor เล็กสุดของ $ np_1^{1!}p_2^{2!}\dots p_n^{n!} +1 $ พิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะทุกตัวปรากฏในลำดับ $p_n$

85. กำหนด $ p_1=2$ และ $p_{n+1} $ เป็น prime divisor ใหญ่สุดของ $ p_1p_2\dots p_n +1 $ พิสูจน์ว่าไม่มี 11 ปรากฏในลำดับ $p_n$

86. $ x_1,x_2,\dots x_n > 0$ และผลรวมเป็น 1 พิสูจน์ $$ \sum_{i=1}^n \,\,\frac{x_i+n}{1+x_i^2} \leq n^2 $$

87. พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ n เป็นอนันต์ที่ทำให้ $ n | 2^n+1$ แต่ไม่มีจำนวนนับ n>1 ที่ทำให้ $ n | 2^n-1$

88. ให้ n เป็นเลขคี่ที่มากกว่า 1 พิสูจน์ว่า $ n \nmid 3^n+1$

89. n > 3 พิสูจน์ว่า $ 2^n \pm 1 $ ไม่สามารถเขียนได้ในรูป $3^k$ (Note: Lemma นี้เอาไปประยุกต์ใช้ในโจทย์ทฤษฎีจำนวนได้หลายข้อเลยครับ)

90. จำนวนนับ n โดย 2n+1 และ 3n+1 เป็น perfect square พิสูจน์ว่า 40|n

91. พิสูจน์ว่า $ y^2 =x^3+7$ ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนเต็ม

92. หาจำนวนนับ n ทั้งหมดที่ทำให้ $ n| 1^n+2^n+\dots (n-1)^n$

93. หาจำนวนนับ n ทั้งหมดซึ่งมีจำนวนนับ m ซึ่ง $ 1,2,..,n|m $ แต่ $ n+1,n+2,n+3 \nmid m$

94. สามเหลี่ยม ABC มี AB,BC,CA ยาว 65, 33,56 หน่วย ตามลำดับ หาขนาดรัศมีวงกลมที่สัมผัส AC,BC และ (ABC)

95. วงกลม 3 วงมีจุดศูนย์กลางที่จุดกึ่งกลางด้านสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC วงกลมทั้ง 3 ผ่านจุด O และตัดกันเองที่ K,L,M พิสูจน์ว่า O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในสามเหลี่ยม KLM

96. สามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว ABC มีมุมฉากที่ C ,ให้ P เป็นจุดบน BC และ M เป็นจุดกึ่งกลาง AB , L,N อยู่บน AP โดย CN ตั้งฉากกับ AP ,AL=CN ถ้า [ABC] =4[LMN] หาขนาดมุม LMN และ CAP

97. D เป็นจุดบน BC ของสามเหลี่ยม ABC โดย E,F เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในของสามเหลี่ยม ABD, ACD ตามลำดับ โดย BCEF เป็น cyclic พิสูจน์ $ \frac{AD+BD}{AD+CD} = \frac{AB}{AC}$

98. (ข้อนี้ดูเหมือนง่ายแต่ไม่ง่ายเลย) a,b,c >0 พิสูจน์ $$ \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + \,\,\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 2 $$

99. a,b,c เป็นจำนวนนับ โดย (a,b,c)= 1 และ $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c} $ พิสูจน์ a+b เป็น perfect square

100. สามเหลี่ยมมุมแหลม ABC มี AD,BE,CF เป็นส่วนสูง และ EF ตัด (ABC) ที่ P,Q พิสูจน์ว่า OA ตั้งฉากกับ PQ และถ้า M เป็นจุดกึ่งกลาง BC พิสูจน์ $ AP^2 = 2(AD)(OM)$

101. (ข้อนี้เป็นโจทย์ที่ดีข้อหนึ่ง สำหรับผู้ที่อยากลองใช้อสมการ Holder) a,b,c > 0 พิสูจน์ $$ \frac{a+ \sqrt{ab} + \sqrt[3]{abc}}{3} \leq \sqrt[3]{a \cdot \frac{a+b}{2} \cdot \frac{a+b+c}{3}} $$

102. ถ้า$ (a_i,a_j)= (i,j)$ ทุก $ i \neq j$ พิสูจน์ว่า $ a_i =i \,\, , \forall i$