ข้อ 1 ของวันแรก
ตรวจสอบก่อนว่า $\;2009 + 2087 = 4096 = 64^2\;$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ตามเงื่อนไขของโจทย์
สมมติว่า $m$ เป็นสมาชิกของ $S$ ด้วย จะได้ว่า $2087 + m = x^2$ และ $2009 + m = y^2$ นั่นคือ $78 = x^2 - y^2$
จากทฤษฎีบทที่ว่า “สมการ $n = x^2 - y^2$ จะมีคำตอบ $x, y \in Z$ ก็ต่อเมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มคี่ หรือ $4 | n$”
(ดูบทพิสูจน์ในหน้า 186 จากหนังสือ ทฤษฎีจำนวน ของ สอวน.)
จึงสรุปได้ว่า $78 = x^2 - y^2$ ไม่มีผลเฉลย หมายความว่า ไม่มี $m$ ที่เป็นสมาชิกของ $S$ ตามข้อสมมติ
เพราะฉะนั้น จำนวนสมาชิกที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $S$ จึงเท่ากับ $2$
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน
|