[passer-by]

ตอนนี้ผมกำลังคิดว่า กระทู้จะสมบูรณ์ ถ้าผมสร้าง topic ย่อยเพื่อประมวลเทคนิคที่ใช้บ่อยๆ ใส่ไว้ในกระทู้นี้ด้วย โดยใช้โจทย์ ที่ post ไว้นี่แหละเป็นตัวตั้ง (คล้ายๆกับบทความ เรียนพีชคณิตจากโจทย์ปัญหา ใน My Maths)

แต่ขอ post คำถามให้ครบก่อนแล้วกันครับ ซึ่งน่าจะเสร็จ ภายในปลาย กรกฎาคม

ดูท่าทางงานนี้ จะเป็นงานช้างทีเดียว ทั้งโจทย์และบทความย่อย...แต่ไม่เป็นไร ไหนๆจะทำงานใหญ่แล้วต้อง fight ให้ถึงที่สุด
------------------------------------------------------------------------------------
103. สามเหลี่ยม ABC มี AB,BC,CA ยาว 8,7,5 หน่วย ตามลำดับ ต่อ CA ไปทาง A จนถึง D จากนั้นลากเส้นแบ่งครึ่งมุม DAB ตัด (ABC) ที่ E ลาก EF ตั้งฉากกับ AB ที่ F หาความยาว AF(Hint: หา 60 องศาให้เจอ)

104. หาจำนวนนับ n ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $ \binom{n}{k} | \binom{2n}{2k} \,\, , \forall k=1,2,\dots, n-1$

105. วงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABC สัมผัส AB,AC ที่ X,Y ตามลำดับ K เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้ง AB ของ (ABC) ด้านที่สั้นกว่า ถ้า XY แบ่งครึ่ง AK หาขนาดมุม BAC

106. จุด n จุดอยู่บนวงกลม (n > 3 และเป็นเลขคู่ ) ถ้าคอร์ดทุกเส้นที่มีจุดเหล่านี้เป็นจุดปลาย ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง พิสูจน์ว่าจำนวนสามเหลี่ยมมุมแหลมที่เกิดจากจุดเหล่านี้ เป็นเลขคู่และไม่เกิน $ \frac{1}{2} \binom{n}{3}$

107. นิยาม $ a_n = \cases{0 & , \text{จำนวนตัวประกอบที่เป็นบวกของ n เป็นเลขคี่} \cr 1 & , \text{จำนวนตัวประกอบที่เป็นบวกของ n เป็นเลขคู่}} $ โดย $ x = 0.a_1a_2\dots $ พิสูจน์ว่า x เป็นจำนวนอตรรกยะ

108. a,b,c > 0 ,a+b+c=1 พิสูจน์ $$ \sum_{cyc} \frac{a}{\sqrt{b}(b+c)} \geq \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{ab+bc+ca}} $$

109. สี่เหลี่ยม ABCD มีเส้นทแยงมุมตัดกันที่ X โดยมี $ M_1,M_2$ เป็นจุดตัดมัธยฐานของสามเหลี่ยม ABX, XDC ตามลำดับ และ $H_1,H_2$ เป็นจุดตัดส่วนสูงของสามเหลี่ยม BXC, AXD ตามลำดับ พิสูจน์ว่า $M_1M_2$ ตั้งฉากกับ $H_1H_2$

110. (ข้อนี้เป็นข้อสอบ TST ของบางประเทศ แต่ผมว่ามันควรจะเป็นแบบฝึกหัดให้เด็กเรียน abstract algebra จะเหมาะกว่า) S={1,2,…,n} $ A \subset S$ โดย $ \forall x,y \in A\,\, , x+y \in A $ หรือ $ x+y-n \in A$ พิสูจน์ว่า n(A) | n

111. พิสูจน์ว่า ถ้า $ A \subset \{ 1,2,…,2007 \} $ โดย n(A) = 27 แล้ว A บรรจุ 3 จำนวนต่างกัน โดย $ (a,b) |c $

112. ถ้าพหุนาม $ p(x)= x^{2010} \pm x^{2009}+\dots \pm x\pm1 $ ไม่มีรากจำนวนจริง หาจำนวนสัมประสิทธิ์ใน p(x) มากสุด ที่เป็น -1

113. จัดแข่งไพ่ poker แบบพบกันหมด โดยมีผู้เล่น 9 คน และแต่ละคู่ แข่งเพียง 1 ครั้งเท่านั้น โดยแบ่งการแข่งเป็น 4 รอบ แต่ละรอบแบ่งเป็น 3 กลุ่มๆละ 4 คน โดยกลุ่มเดียวกันจะพบกันหมดและไม่แข่งข้ามกลุ่มในแต่ละรอบใดๆ หาจำนวนวิธีจัดการแข่งขันทั้ง 4 รอบ

114. พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ n, n+2 เป็นอนันต์ที่ทั้งคู่ไม่สามารถเขียนได้ในรูปแบบผลต่างของจำนวนเฉพาะ

115. มีคน N คนมางานปาร์ตี้ ถ้าแต่ละคนจับมือกับคนอื่น ไม่เกิน 50 คน และทุก 50 คนใดๆ มี 2 คนที่เคยจับมือซึ่งกันและกัน หาค่ามากสุดของ N

116. ตาราง 16x16 บรรจุจำนวนเต็มทุกช่อง โดยทุกแถว ทุกคอลัมน์มีจำนวนเต็มต่างกันไม่เกิน 4 จำนวน หาว่าในตารางมีจำนวนเต็มมากสุดได้กี่จำนวน

117. n > 1 หาจำนวนหมากน้อยสุดในเทอมของ n ที่วางลงไปในกระดานหมากรุกขนาด nxn แล้วมี 4 หมากที่วางเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานเสมอ

118. (โจทย์ข้อนี้เจ๋งดีครับ ไม่เชื่อลองทำดู) หาคำตอบทั้งหมดของ $x_i$ ที่เป็นจำนวนจริงไม่ติดลบ ของระบบสมการ $ (x_1+x_2+\dots +x_k)( x_k+x_{k+1}+\dots +x_{2009}) \,\, ,\forall k=1,2,..,2009 $

119. M อยู่บนส่วนโค้ง BC ด้านตรงข้าม A ของ (ABC) IE,IF ตั้งฉากกับ MB, MC ตามลำดับ พิสูจน์ว่า $ \frac{IE+IF}{AM}$ ไม่ขึ้นกับตำแหน่งของ M

120. พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ n เป็นอนันต์ ที่ทำให้ $ \frac{(n+1)(n+2)\dots(n+500)}{500!}$ เป็นจำนวนนับที่มี prime divisor ทุกตัว > 500

121. f เป็นฟังก์ชันค่าจริง (real-valed function) และหาค่าอนุพันธ์อันดับ 1 ได้บน [a,b] ถ้า $f’(x) \geq f(x) > 0$ ทุก x ใน [a,b] พิสูจน์ว่า $ \int_{\,\,a}^{\,\,b} \,\, \frac{1}{f(x)} \,\, dx \leq \frac{1}{f(a)} - \frac{1}{f(b)}$

122. a,b >0 กำหนด $x_n$ แทนผลรวมทุกหลักของ $ \left\lfloor an+b \right\rfloor $ พิสูจน์ว่า $x_n$ บรรจุลำดับย่อยอนันต์เทอมที่เป็นค่าคงที่ (Hint: หา n ที่เหมาะสมที่ทำให้ผลบวกหลักอยู่ในช่วงแคบๆ)

123. สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC มี AC=BC และD อยู่บน BC โดย OD ตั้งฉากกับ BI พิสูจน์ ID ขนานกับ AC

124. AD,BE,CF เป็นส่วนสูงของสามเหลี่ยม ABC K,M,N เป็น จุดตัดส่วนสูงของสามเหลี่ยม AEF, BFD, CDE ตามลำดับ พิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม KMN เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม DEF

125. (A) p เป็นจำนวนเฉพาะ และกำหนดจำนวนเต็ม 2p-1 จำนวนต่างกัน พิสูจน์ว่ามี p จำนวนที่ผลรวมหารด้วย p ลงตัวเสมอ (Hint: contradiction แล้ว หาค่า $ \sum \,\, S_i \pmod {p} $ 2 แบบ เมื่อ $S_i $ แทน ผลบวกจำนวนใน subset ขนาด p ทั้งหมด
(B) เปลี่ยนจาก p เป็นจำนวนนับ n แล้วพิสูจน์อีกครั้ง (เรียกทฤษฎีนี้ว่า Erdos-Ginzburg-Ziv Theorem)

126. กำหนด p เป็นจำนวนเฉพาะ พิสูจน์ $$ \sum_{k=1}^{p^2-p} k^k \equiv -1 \pmod{p} $$

127. พิสูจน์ว่าทุกจำนวนนับ N จะมี จำนวนนับ m ซึ่ง $ m^{2553}+2010m^{2552}+500m+7 $ มี prime divisor ต่างกันอย่างน้อย N จำนวน

128. $ A_2 ,B_2,C_2$ เป็นจุดกึ่งกลางส่วนสูง $AA_1,BB_1,CC_1$ ของสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC หาค่า $B_2\hat{A_1}C_2+ C_2\hat{B_1}A_2+ A_2\hat{C_1}B_2$

129. นักเรียน n คนแต่ละคนเป็นสมาชิกชมรม $\geq k$ ชมรม และทุกชมรมมีสมาชิกอย่างน้อย 1 คน ถ้า 2 ชมรมใดๆมีสมาชิกร่วมกันอย่างมาก 1 คน พิสูจน์ว่ามี $ \geq k$ ชมรม ที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน

130. พิสูจน์ว่าไม่มี nonzero reals a,b ที่ทำให้ทุก n > 3 มีพหุนาม $P_n(x)= x^n+\dots +ax^2+bx+1 $ ซึ่งมีรากเป็นจำนวนจริง n ราก

131. $ f,g,h :R \rightarrow R$ โดย $ f(g(0)) = g(f(0))= h(f(0)) = 0 $ และ $ f(x+g(y)) = g(h(f(x)) +y \,\ \, ,\forall x,y \in R $ พิสูจน์ h,f เป็นฟังก์ชันเดียวกันและ g สอดคล้องกับเงื่อนไขสมการโคชี

132. a,b,c เป็นจำนวนเต็ม พิสูจน์ $ (a+b+c)^2 | \sum_{cyc} (a-b)(a^2+b^2-c^2)c^2 $

133. คน 2n+1 คน ทุกๆ n คนจะมีบางคนในอีก n+1 คนที่เหลือซึ่งรู้จัก n คนเหล่านี้ พิสูจน์ว่ามีคนที่รู้จักคนอื่นครบทุกคน

134. สส. ประเทศหนึ่งมี 300 คน แต่ละคนเคยชกหน้า สส.คนอื่นมาแล้ว แต่ชก1 คนเท่านั้น พิสูจน์ว่ามีกลุ่มย่อย 100 คนที่แต่ละคนไม่เคยชก สส.ในกลุ่มย่อยนี้เลย (พิสูจน์ด้วยว่าถ้าเปลี่ยน 100 เป็น 101 อาจไม่จริง)

135. จัตุรัสขนาด 2009x2009 ถูกแบ่งเป็นช่องย่อยขนาด 1x1 โดยมีจัตุรัสขนาด 1489x1489 (ซึ่งแบ่งเป็นช่องย่อยแบบเดียวกัน) แนบในเป็นรูปข้าวหลามตัด โดย 4 มุมนอกสุดทับจุดมุมจัตุรัสย่อยของรูปใหญ่ หาจำนวนจุดมุมจัตุรัสย่อยของรูปในกับรูปนอกที่ทับกันพอดี (Hint : 1489 เป็นจำนวนเฉพาะ)

136. x,y เป็นจำนวนนับ โดย $ 2\leq x,y \leq 30000 $ พิสูจน์ว่า มีจำนวนนับ n ซึ่ง $ x^{2^n} + y^{2^n}$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

137. หาจำนวนสับเซต $ B\subset \{1,2,…,2005 \}$ โดยผลรวมสมาชิกใน B $ \equiv 2010 \pmod{2048}$

138. (A) x,y,z,a,b,c > 0 พิสูจน์ $ \frac{x^3}{a^2} + \frac{y^3}{b^2} +\frac{z^3}{c^2} \geq \frac{(x+y+z)^3}{(a+b+c)^2}$
(B) P เป็นจุดภายในสามเหลี่ยม ABC โดย $ d_a, d_b, d_c$ เป็นระยะจาก P ไปยังด้านสามเหลี่ยม พิสูจน์ $ \sum d_ah^2_a \geq ( \sum d_a)^3 $

139. (ข้อนี้คล้ายข้อ 98 แต่ง่ายกว่าเยอะ) a,b,c > 0 พิสูจน์ $$ 4 \,\, \leq \,\, \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} + \,\, \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

140. หาลำดับเลขคณิตทั้งหมดที่ผลรวม n เทอมแรกเป็น perfect square ทุกจำนวนนับ n
----------------------------------------------------------------------------