มาเฉลยตามคำเรียกร้องของน้อง Mastermander ครับ
คุณ tunococ ตอบถูกแล้วล่ะครับ
My solution : ใช้เอกลักษณ์ $\sin^4{x} + \cos^4{x} = \cos^2{2x} + \frac{1}{2}\sin^2{2x}$ จะได้
$\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\sin^4{x}+\cos^4{x}} \ dx = 8 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2{2x} + \frac{1}{2}\sin^2{2x}} \ dx }$
$\displaystyle{ = 8 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2{2x}}{1+ \frac{1}{2}\tan^2{2x}} \ dx }$
$\displaystyle{ = 4 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+ \frac{1}{2}u^2} \ du \,\ < u = \tan{2x}> }$
$=2\pi\sqrt{2}$
คุณ tunococ ได้สิทธิ์ถามข้อต่อไปครับ