อ้างอิง:
ข้อความเดิมของน้อง Mastermander :
เนื่องจาก $\frac{1}{\sqrt8}$ เป็นอนุพันธ์ของ $\arcsin(\frac{b}{3})$ ที่ b = 2
ดังนั้นจึงสรุปว่า $\displaystyle{ \frac13 < \arcsin\frac13 < \frac{1}{\sqrt7} }$
|
บรรทัดบน น้องอ้าง อนุพันธ์ของ arcsin แต่ข้างล่างเป็น arcsin เฉยๆนะครับน้อง
(และ ผมว่า b=1 ไม่ใช่ b=2 นะ)
เท่าที่อ่านดูวิธีทำตั้งแต่แรก ก็งงๆดีครับ แต่ไม่เป็นไร ถือว่าให้คะแนนความพยายาม
ประกอบกับยังอยู่ ม.ปลาย
ข้อนี้ จริงๆ ผมกะให้ใช้ Mean value Theorem อย่างเดียว ก็จะได้ผลลัพธ์ตามที่ต้องการทันทีครับ
Mean Value Theorem
ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [a,b] และ differentiable ใน (a,b) แล้วจะมี $ c\in (a,b)$ ซึ่ง
$$ f '(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$
พิจารณา f(x)= arcsin(x) บน [0,x] และ 0< x< 1
จากนั้น apply Mean Value theorem จะได้ว่ามี c ใน (0,x) ซึ่ง
$$\frac{1}{\sqrt{1-c^{2}}}=\frac{\arcsin(x)}{x} $$
และจาก 0< c < x ทำให้ $ 1 < \frac{1}{\sqrt{1-c^{2}}} < \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} $
หรือเขียนใหม่เป็น $ 1 < \frac{\arcsin(x)}{x} < \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} $
จากนั้นก็แทน x= 1/3 เข้าไป ประกอบกับ $\frac{1}{\sqrt{8}} < \frac{1}{\sqrt{7}} $ ก็เรียบร้อยครับ